Dominio de composición de funciones

Dadas las funciones $f(x)=\sqrt{x}$ , $g(x)=e^{x+2}$ y , encuentra el dominio de las siguientes funciones:

a) $(f \circ g)(x)$
b) $(g \circ f)(x)$
c) $(g^{-1} \circ h)(x)$

SOLUCIÓN

$f(x)=\sqrt{x}$
$g(x)=e^{x+2}$

a) $(f \circ g)(x) = f[g(x)] = f\left(e^{x+2}\right) = \sqrt{e^{x+2}}$
En las funciones irracionales de índice par, el dominio es el conjunto de puntos que hacen que el radicando se mayor o igual que cero.
En el radicando hay una función exponencial que nunca es negativa, por tanto el dominio es todos los reales
$Dom(f \circ g) = R$

b) $(g \circ f)(x)=g[f(x)]=g \left( \sqrt{x}\right)=e^{\sqrt{x}+2}$
Para evitar la raíz negativa tendría que ser $x \geq 0$
$Dom(g \circ f) = [0, +\infty)$

c) $(g^{-1} \circ h)(x)$

En primer lugar calculamos $g^{-1}(x)$
$g(x)=e^{x+2}$
$y=e^{x+2}$
Cambiamos x por y
$x=e^{y+2}$
$Ln \:x= Ln \: e^{y+2}$
$Ln \:x= (y+2) \cdot Ln \: e$
$Ln \:x= y+2$
$-2 + Ln \:x= y$