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Velocidad de crecimiento de una población

Suponga que la velocidad de crecimiento de una población en el instante t sufre variaciones estacionales en su tamaño de acuerdo con la ecuación
\frac{dN}{dt} = 3 \sen (2 \pi t)
donde t se mide en años e indica el tamaño de la población en el instante t. Si N(0)=10 (en unidades de miles), calcule una expresión de N(t). ¿Cómo se reflejan las variaciones estacionales de la velocidad de crecimiento en el tamaño de la población?

SOLUCIÓN

En primer lugar vemos que nos dan la derivada de N respecto a t \:\:\frac{dN}{dt} , que también se puede expresar como N^\prime(t) y nos piden la función N(t), por tanto debemos integrar.

N(t) = \int 3 \sen (2 \pi t) dx


Recordamos la fórmula de las integrales inmediatas tipo seno o coseno

\int u^\prime(x) \cdot sen \: u(x) \:dx = - cos \: u(x) + C


Para usar la fórmula necesitamos multiplicar por 2\pi

\int 3 \sen (2 \pi t) dx = \textcolor{blue}{\frac{1}{2\pi}}\cdot 3 \int \textcolor{blue}{2\pi}\cdot \sen (2 \pi t) dx = \frac{3}{2\pi} \cdot (-cos(2 \pi t))+C


N(t) = \frac{-3 \cdot cos(2 \pi t)}{2 \pi} + C

Para calcular el valor de la constante de integración (C) usamos el dato N(0)=10

\frac{-3 \cdot cos(2 \pi \cdot 0)}{2 \pi} + C =10
\frac{-3 \cdot 1}{2 \pi} + C =10 \longrightarrow C=10+\frac{3}{2 \pi}

Entonces: \fbox{N(t) = \dfrac{-3 \cdot cos(2 \pi t)}{2 \pi} + \dfrac{3}{2 \pi} + 10}

¿Cómo se reflejan las variaciones estacionales de la velocidad de crecimiento en el tamaño de la población?
Veaamos la gráfica

Es una función periódica (se repite lo mismo cada año).
A principio de cada año la población alcanza su valor mínimo y empieza a crecer hasta mitad de año, donde alcanza el valor máximo, y vuelve a decrecer.

Si no tenemos la opción de ver la gráfica, podemos analizar la función mediante la fórmula.

Es periódica de periodo t=1
cos (2\pi (t+1)) = cos(2\pi t+ 2 \pi) = cos(2\pi t)
Como lo demás no varía, tenemos que N(t)=N(t+1)

Dado que es periódica de periodo t=1, se puede reducir el estudio al intervalo [0,1)
Estudiamos ahora monotonía y extremos.
N^\prime(t)=0 \longrightarrow 3 sen (2 \pi t)=0 \longrightarrow sen (2 \pi t)=0
Hay dos opciones para que el seno sea cero:

- 2 \pi t = 0 \longrightarrow t=0
- 2 \pi t = \pi \longrightarrow t=\frac{1}{2}

Los intervalos a considerar serían:

\left( 0,\frac{1}{2} \right) \left( \frac{1}{2},1 \right) \left( 1,\frac{3}{2} \right) \cdots

Si calculamos N(1/4) nos da positivo, con lo cual CRECE
Si calculamos N(3/4) nos da negativo, con lo cual DECRECE

\left( 0,\frac{1}{2} \right) \left( \frac{1}{2},1 \right) \left( 1,\frac{3}{2} \right) \cdots
\nearrow \searrow \nearrow \searrow

Los resultados anteriores, junto a la continuidad de la función, nos garantizan mínimos en 0,1,2,.. y máximos en 1/2, 3/2,5/2, ...

Con lo cual, llegaríamos a una gráfica como la de arriba y a las mismas conclusiones respecto a las variaciones estacionales.

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