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Problema de programación lineal 655

Un orfebre fabrica dos tipos de joyas. Las de tipo A precisan 1 gramo de oro y 1,5 gramos de plata, vendiéndolas a 40 euros cada una. Para la fabricación de las del tipo B emplea 1,5 gramos de oro y 1 gramo de plata y las vende a 50 euros. El orfebre tiene sólo en el taller 750 gramos de oro y 750 gramos de plata. ¿Cuántas joyas ha de fabricar de cada clase para obtener un ingreso máximo?

SOLUCIÓN

Expresamos los datos del problema en la siguiente tabla:
Programación Lineal

Dibujamos las rectas, resolvemos gráficamente el sistema de inecuaciones, dibujamos el recinto solución y calculamos sus vértices

Para dibujar la recta x+1.5y=750 necesitamos dos puntos.
No es buena idea dar dos valores al azar, es mejor usar los puntos de corte con los ejes de la siguiente forma:
x=0 \longrightarrow 0+1.5y=750 \longrightarrow y=\frac{750}{1.5}=500. Punto \textcolor{blue}{(0,500)}

y=0 \longrightarrow x+1.5 \cdot 0=750 \longrightarrow x=750. Punto \textcolor{blue}{(750,0)}

Con ambos puntos dibujamos la recta.
Con la segunda recta 1.5x+y=750 se procede igual y se obtienen los puntos (0,750) y (500,0)

Para obtener el punto donde se cortan las rectas (vértice B en el dibujo de abajo), se resuelve el sistema de ecuaciones formado por las dos ecuaciones de las dos rectas.
\left\{
x+1.5y=750 \atop
1.5x+y=750
\right. \qquad Soluciones: \: x=300 ; \quad y=300

Los vértices son:
- A(0,500)
- B(300,300)
- C(500,0)
- D(0,0)

Aplicamos la función objetivo a cada uno de los vértices:

- F(0,500)=40 \cdot 0 + 50 \cdot 500 = 25000
- F(300,300)=40 \cdot 300 + 50 \cdot 300 = 27000
- F(500,0)=40 \cdot 500 + 50 \cdot 0 = 20000
- F(0,0)=40 \cdot 0 + 50 \cdot 0 = 0

Observamos que los ingresos máximos (27000 euros) se obtendrían fabricando 300 joyas de tipo A y otras 300 de tipo B

Ejercicios resueltos de programación lineal

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