Problema de programación lineal 655

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programación_lineal

Un orfebre fabrica dos tipos de joyas. Las de tipo A precisan 1 gramo de oro y 1,5 gramos de plata, vendiéndolas a 40 euros cada una. Para la fabricación de las del tipo B emplea 1,5 gramos de oro y 1 gramo de plata y las vende a 50 euros. El orfebre tiene sólo en el taller 750 gramos de oro y 750 gramos de plata. ¿Cuántas joyas ha de fabricar de cada clase para obtener un ingreso máximo?

SOLUCIÓN

Expresamos los datos del problema en la siguiente tabla:

**Programación Lineal**

esquema para resolver problemas de programación lineal

matematicasies.com

Dibujamos las rectas, resolvemos gráficamente el sistema de inecuaciones, dibujamos el recinto solución y calculamos sus vértices

Para dibujar la recta necesitamos dos puntos.
No es buena idea dar dos valores al azar, es mejor usar los puntos de corte con los ejes de la siguiente forma:
$x=0 \longrightarrow 0+1.5y=750 \longrightarrow y=\frac{750}{1.5}=500$ . Punto $\textcolor{blue}{(0,500)}$

$y=0 \longrightarrow x+1.5 \cdot 0=750 \longrightarrow x=750$ . Punto $\textcolor{blue}{(750,0)}$

Con ambos puntos dibujamos la recta.
Con la segunda recta se procede igual y se obtienen los puntos y

Para obtener el punto donde se cortan las rectas (vértice B en el dibujo de abajo), se resuelve el sistema de ecuaciones formado por las dos ecuaciones de las dos rectas.
$\left\{ x+1.5y=750 \atop 1.5x+y=750 \right. \qquad Soluciones: \: x=300 ; \quad y=300$

Los vértices son:
–
–
–
–

Aplicamos la función objetivo a cada uno de los vértices:

– $F(0,500)=40 \cdot 0 + 50 \cdot 500 = 25000$
– $F(300,300)=40 \cdot 300 + 50 \cdot 300 = 27000$
– $F(500,0)=40 \cdot 500 + 50 \cdot 0 = 20000$
– $F(0,0)=40 \cdot 0 + 50 \cdot 0 = 0$