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Selectividad Murcia Junio 2014 A3

Dada la función f(x)=\frac{e^x}{x}, se pide:

a) Dominio de definición y cortes con los ejes.
b) Estudio de las asíntotas (verticales, horizontales y oblicuas).
c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Extremos (máximos y mínimos).
d) Representación gráfica aproximada.

SOLUCIÓN

Dominio de f(x)=\frac{e^x}{x}

Dom(f) = \textcolor{blue}{R-\{0\}}

Corte con los ejes

Si x=0 \longrightarrow (x no puede tomar el valor 0)

Si y=0 \longrightarrow 0= \frac{e^x}{x}  \longrightarrow e^x=0
No hay solución (la función exponencial no se anula nunca)

Por tanto: No hay puntos de corte con los ejes de coordenadas

Asíntotas verticales

Tiene una asíntota vertical: \textcolor{blue}{x=0}

\lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{e^x}{x} = -\infty \qquad \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{e^x}{x} = +\infty

Asíntotas horizontales

\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty

\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{e^x}{x} = e^{-\infty}=\frac{1}{e^{+\infty}} = \frac{1}{+\inifty} = 0

Para calcular los límites anteriores nos podemos basar en que la exponencial es un infinito de mayor orden. También se pueden calcular por L’Hôpital

Tiene asíntota horizontal \textcolor{blue}{y=0} por la izquierda (cuando x \rightarrow -\infty)

Asíntotas oblicuas

No tiene asíntotas oblicuas al tener horizontal (son incompatibles)

Monotonía y extremos

f^{\prime}(x)= \frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2}=\frac{e^x(x-1)}{x^2}

f^{\prime}(x)=0 \longrightarrow  \frac{e^x(x-1)}{x^2}=0  \longrightarrow e^x(x-1)=0
Como la exponencial no puede ser cero, la única opción es x-1=0 \longrightarrow x=1

Tomamos los intervalos definidos por las soluciones de la ecuación anterior (x=1) y los puntos de discontinuidad (x=0). Los intervalos son:

(-\infty,0) \qquad (0,1) \qquad (1,+\inifty)

Analizamos el signo de la derivada en cada uno de los intervalos

-1 \in (-\infty,0) \longrightarrow f^{\prime}(-1)=\frac{e^{-1}(-1-1)}{(-1)^2}<0 \quad \searrow DECRECE

0.5 \in (0,1) \longrightarrow f^{\prime}(0.5)=\frac{e^{0.5}(0.5-1)}{(0.5)^2}<0 \quad \searrow DECRECE

2 \in (1,+\infty) \longrightarrow f^{\prime}(2)=\frac{e^2(2-1)}{2^2}>0 \quad \nearrow CRECE

En x=1 hay un MÍNIMO puesto que decrece a la izquierda de 1 y crece a la derecha (unido a la continuidad de la función).

También se podría justificar la presencia del mínimo usando la segunda derivada.

f(1)=\frac{e^1}{1}=e

Por tanto Mínimo en (1,e)

Con todos los resultados anteriores podemos dibujar la gráfica

moderación a priori

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