Selectividad Murcia Junio 2014 A3

Dada la función $f(x)=\frac{e^x}{x}$ , se pide:

a) Dominio de definición y cortes con los ejes.
b) Estudio de las asíntotas (verticales, horizontales y oblicuas).
c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Extremos (máximos y mínimos).
d) Representación gráfica aproximada.

SOLUCIÓN

Dominio de $f(x)=\frac{e^x}{x}$

$Dom(f) = \textcolor{blue}{R-\{0\}}$

Corte con los ejes

Si $x=0 \longrightarrow$ (x no puede tomar el valor 0)

Si $y=0 \longrightarrow 0= \frac{e^x}{x} \longrightarrow e^x=0$
No hay solución (la función exponencial no se anula nunca)

Por tanto: No hay puntos de corte con los ejes de coordenadas

Asíntotas verticales

Tiene una asíntota vertical: $\textcolor{blue}{x=0}$

$\lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{e^x}{x} = -\infty \qquad \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{e^x}{x} = +\infty$

Asíntotas horizontales

$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$

$\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{e^x}{x} = e^{-\infty}=\frac{1}{e^{+\infty}} = \frac{1}{+\inifty} = 0$

Para calcular los límites anteriores nos podemos basar en que la exponencial es un infinito de mayor orden. También se pueden calcular por L’Hôpital

Tiene asíntota horizontal $\textcolor{blue}{y=0}$ por la izquierda (cuando $x \rightarrow -\infty$ )

Asíntotas oblicuas

No tiene asíntotas oblicuas al tener horizontal (son incompatibles)

Monotonía y extremos

$f^{\prime}(x)= \frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2}=\frac{e^x(x-1)}{x^2}$

$f^{\prime}(x)=0 \longrightarrow \frac{e^x(x-1)}{x^2}=0 \longrightarrow e^x(x-1)=0$
Como la exponencial no puede ser cero, la única opción es $x-1=0 \longrightarrow x=1$