unidimensionales

Un examen tipo test consta de 20 preguntas con 4 opciones cada una. Teniendo en cuenta que no hemos estudiado nada (contestaremos al azar) y que no nos restan puntos al fallar, calcula la probabilidad de:

- a) sacar un 10
- b) aprobar el examen (sacar un 5 ó más)

SOLUCIÓN

Se trata de una Binomial donde el experimento se repite 20 veces con una probabilidad de éxito de 1/4

X \longrightarrow B(20, 0.25)

a) P(X=20) = \left( \begin{array}{c} 20 \\ 20 \end{array}  \right) \cdot 0.25^{20} \cdot(0.75)^0 = 1 \cdot 0.25^{20} \cdot 1 = 9 \cdot 10^{-13}
La probabilidad sería prácticamente 0

b) P(X \geq 10) = P(X=10)+P(X=11)+ \cdots + P(X=19)+P(X=20)

Como vemos, habría que hacer demasiados cálculos.
Otra opción es aproximar la Binomial a una Normal (Ver Teoría)

Obtendríamos una Normal de media np=20 \cdot 0.25 = 5 y desviación típica de \sqrt{npq}=\sqrt{20 \cdot 0.25 \cdot 0.75} = \sqrt{3.75} \simeq 1.9

Por tanto tendríamos que X \longrightarrow N(5,1.9)
Nos piden P(X \geq 10) que con la corrección de Yates (Ver Teoría) sería P(X \geq 9.5)

P(X \geq 9.5) = P(Z \geq \frac{9.5-5}{1.9}) =P(Z \geq 2.37) =
1 - P(Z \leq 2.37) = 1 - 0.9911 = 0.0089$
Como vemos, la probabilidad de aprobar sería también muy baja