02 - Posición relativa de recta y plano en el espacio

Estudiamos la posición relativa de una recta y un plano de dos formas:

Método 1

Discutimos el sistema de ecuaciones formado por las dos ecuaciones de la recta y la ecuación del plano


r \equiv \left\{ \begin{array}{ll}
A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\  
A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0  
\end{array}
\right.
\pi \equiv A_3x+B_3y+C_3z+D_3=0

Es un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. Los casos posibles son:

 S.C.Det. \longrightarrow 1 punto en común \longrightarrow Se cortan
 S.C.Indet. \longrightarrow \infty puntos en común \longrightarrow La recta está contenida en el plano
 S.Incomp. \longrightarrow Ningún punto en común \longrightarrow Son paralelos

Posición relativa de recta y plano
Posición relativa de recta y plano en el espacio

Método 2

Tomamos
 \vec{u_r} el vector director de la recta
 \vec{v} el vector normal al plano

Comprobamos si ambos vectores son perpendiculares (con el producto escalar)

 Si \vec{u_r} \cancel{\perp} \vec{v} \longrightarrow se cortan en un punto
 Si \vec{u_r} \perp \vec{v} \longrightarrow son paralelos o la recta está incluida en el plano

Para distinguir en el segundo caso, tomamos un punto de la recta y vemos si verifica la ecuación del plano.
 Si la verifica, entonces la recta está dentro del plano
 Si no la cumple son paralelos