Área bajo una curva

La interpretación geométrica de la regla de Barrow nos dice que la integral definida representa el área entre la curva y el eje de abcisas

- Esto es cierto si la curva es positiva en el intervalo [a,b], es decir, si está por encima del eje OX.
- Si estuviese por debajo, nos saldría un resultado negativo (tomando valor absoluto se soluciona el problema).

Sin embargo, hay veces en que la curva tiene partes por debajo y partes por encima

si hacemos la integral definida entre a y b nos conduciría a un resultado erróneo. Habría que descomponer la integral en tres partes correspondientes a los intervalos [a,c] [c,d] y [d,b] y además tener en cuenta que en el intervalo [c,d] debemos tomar valor absoluto (porque saldría un área negativa al estar por debajo del eje).

Lo más práctico es tomar valor absoluto en todos los intervalos (y así no necesitamos saber los que están por encima y los que están por debajo). El área (A) de la imagen anterior se calcularía así:

A = \left|\int_a^c f(x) dx \right|+ \left|\int_c^d f(x) dx \right|+ \left|\int_c^b f(x) dx\right|

¿Cómo saber si la curva f(x) corta al eje X dentro del intervalo [a,b]?

Basta con resolver la ecuación f(x)=0 y ver si alguna de las soluciones está dentro del intervalo [a,b].
Si al resolver la ecuación f(x)=0 obtenemos que entre las soluciones hay dos (c y d) dentro del intervalo, calcularíamos el área con la fórmula:

A = \left|\int_a^c f(x) dx \right|+ \left|\int_c^d f(x) dx \right|+ \left|\int_c^b f(x) dx\right|

Ver ejemplo