Ejercicio Geometría en el espacio

Considera los puntos A(1,0,2) , B(-1,3,1) y C(1,0,4)

- (a) Halla la ecuación del plano que contiene a A, B y C
- (b) Halla el área del triángulo de vértices A, B y C

SOLUCIÓN

- (a) Para determinar el plano usaremos un punto (A) y dos vectores \vec{AB}=(-2,3,-1) y \vec{AC}=(1,1,0) (ver teoría)

\left| \begin{array}{ccc}
x-1 & y & z-2 \\
-2 & 3 & -1 \\
1 & 1 & 0
\end{array} \right| = 0
Resolviendo el determinante y simplificando obtenemos
\fbox{x-y-5z+9=0}

- (b) El área del triángulo se calcula según la teoría
A = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC} |

\vec{AB} \times \vec{AC}= \left| \begin{array}{ccc}
\vec{i} &\vec{j} &\vec{k} \\
-2 & 3 & -1 \\
1 & 1 & 0
\end{array} \right| = \vec{i} - \vec{j} -5\vec{k}

A = \frac{1}{2} \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-5)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{27} u^2

(u^2 significa unidades cuadradas .. puesto que es una superficie)