Rango de una matriz por el método de Gauss

Calcular el rango por Gauss

Para calcular el rango de una matriz por el método de Gauss:

- Calculamos el rango por filas. Si la matriz tuviese más filas que columnas, podemos usar su traspuesta, recordemos que rg(A) = rg(A^t)
- Mediante transformaciones elementales, hacemos ceros todos los elementos por debajo de la diagonal principal.


- El rango es el número de filas (sin contar las filas nulas)

Ejemplo
Calculamos el rango de la matriz A = \left(
\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 0 & 1
\\ 1 & 0 & -1 & 1
\\ 2 & 1 & -1 & 2
\end{array}
\right)
Para hacer los dos primeros ceros de la primera columna, hacemos las siguientes transformaciones de filas:
F_1 - F_2 \longrightarrow F_2
2 \cdot F_1 - F_3 \longrightarrow F_3
Quedando la matriz así: A = \left(
\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 0 & 1
\\ 0 & 1 & 1 & 0
\\ 0 & 1 & 1 & 0
\end{array}
\right)
Para el último cero restamos las filas 2 y 3: F_2 - F_3 \longrightarrow F_3

A = \left(
\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 0 & 1
\\ 0 & 1 & 1 & 0
\\ 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right)
El rango es el número de filas no nulas, por tanto rg(A) = 2