Altura de un edificio usando la doble tangente

Observamos el punto más alto de un castillo bajo un ángulo de 30 grados sobre la horizontal. Nos acercamos 100 metros y ahora el ángulo es de 45 grados. Halla la altura del castillo.

SOLUCIÓN

Problema clásico que se resuelve formando un sistema de ecuaciones con las dos tangentes de los dos ángulos
Problema de la doble tangente

\left\{ \begin{array}{l}
tg(30) = \dfrac{a}{x+100} \\ \\
tg(45) = \dfrac{a}{x}
\end{array} \right.

Dado que 30 y 45 son ángulos notables podemos expresar sus tangentes si recurrir a la calculadora:

\left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{a}{x+100} \\ \\
1 = \dfrac{a}{x}
\end{array} \right. \longrightarrow 
\left\{ \begin{array}{l}
x+100 = \sqrt{3} \cdot a \\ \\
x = a
\end{array} \right.

Tenemos "a" despejado en la 2ª ecuación. Sustituimos en la 1ª ecuación

x+100 = \sqrt{3} \cdot x

x - \sqrt{3} \cdot x = -100

x \cdot (1 - \sqrt{3}) = -100

x = \frac{-100}{1 - \sqrt{3}} = \fbox{136.6 m }

La altura es de 136.6 metros (pues a=x)