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Aplicación del teorema de Tales

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En un triángulo ABC se dibujan tres segmentos paralelos al lado BC que corresponde a la base. De esta manera la altura del triángulo queda dividida en cuatro partes iguales y el triángulo se descompone en cuatro regiones. Si el área de la segunda región mayor es de 35 cm^2, ¿cuál es el área del triángulo ABC expresada en cm^2?

SOLUCIÓN

Con los datos del enunciado hacemos el dibujo.

En el dibujo conocemos el área del trapecio HKLI (35 \:cm^2) y además sabemos que la altura AM del triángulo ABC queda dividida en 4 partes iguales por los puntos D, E y F

Si aplicamos Tales, debemos relacionar los segmentos del área conocida (trapecio) con la base y altura del triángulo ABC del que queremos calcular el área.

Por el área del trapecio sabemos que \frac{(IL + HK) \cdot EF}{2} = 35

Si nos fijamos en los triángulos semejantes ACM y AIF podemos establecer la relación siguiente:
\frac{CM}{IF} = \frac{AM}{AF} = \frac{4}{3}
\frac{CM}{IF} = \frac{4}{3} \longrightarrow 3 \cdot CM = 4 \cdot IF \longrightarrow CM = \frac{4 \cdot IF}{3}

Igualmente si hacemos lo mismo para los triángulos AMB y AFL obtenemos
\frac{MB}{FL} = \frac{4}{3} \longrightarrow 3 \cdot MB = 4 \cdot FL \longrightarrow MB = \frac{4 \cdot FL}{3}

Procediendo de forma análoga con los triángulos AHE y AEK obtendríamos:
CM = \frac{4 \cdot HE}{2}
MB = \frac{4 \cdot EK}{2}

La base CB del triángulo ABC vale:
CB = CM + MB = \frac{4 \cdot IF}{3} + \frac{4 \cdot FL}{3} = \frac{4 \cdot (IF + FL)}{3} = \frac{4 \cdot IL}{3}

Despejamos IL y obtenemos IL = \frac{3 \cdot CB}{4}

Igualmente HK = \frac{CB}{2}

IL + HK = \frac{5 \cdot CB}{4}

\frac{(IL + HK) \cdot EF}{2} = 35

\frac{(\frac{5 \cdot CB}{4}) \cdot EF}{2} = 35

\frac{5 \cdot CB}{4} \cdot EF = 70

5 \cdot CB \cdot EF=280

CB \cdot EF = 56

CB \cdot 4 \cdot EF = 56 \cdot 4

CB \cdot AM = 224

\frac{CB \cdot AM}{2} = 112

El área del triángulo es 112 \: cm^2