Aproximación de la Binomial a la Normal

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Un examen tipo test consta de 38 preguntas con dos posibles respuestas cada una: Verdadero o Falso. Para aprobar se necesita contestar correctamente a 20 o más preguntas. Un alumno, que no ha estudiado, contesta lanzando una moneda (si sale cara pone Verdadero y si sale cruz pone Falso).

– ¿Qué probabilidad tiene de aprobar?

SOLUCIÓN

Se trata de un Binomial donde el experimento se repite 38 veces (n=38) y la probabilidad de éxito es 1/2 (p=0.5)

X \longrightarrow B(38,0.5)

Nos están pidiendo que acierte 20 o más veces, es decir P(X \geq 20)

Si lo hacemos con la binomial, tendríamos que calcular:

P(X=20)+P(X=21)+P(X=22)+ \cdots P(X=38)

serían demasiadas operaciones y demasiado largo.

Hay una forma de hacerlo, que es aproximando la Binomial a una Normal, siguiendo entonces una normal de parámetros:
X \longrightarrow N(np, \sqrt{npq})
Para nuestro ejercicio, los datos serían:

X \longrightarrow N(38 \cdot 0.5, \sqrt{38 \cdot 0.5 \cdot 0.5})

X \longrightarrow N(19, \sqrt{9.5})

Antes de calcular como si una distribución normal se tratase, hay que hacer la corrección de Yates o corrección del medio punto

P(X \geq 20) = P(X^{\prime} \geq 20-0.5)=P(X^{\prime} \geq 19.5)

A partir de aquí, ya seguimos como como cualquier ejercicio de distribución normal, es decir, tipificamos y usamos las tablas de la normal estándar.

P(X^{\prime} \geq 19.5) = P(Z \geq \frac{19.5-19}{\sqrt{9.5}})=P(Z \geq 0.16)=

= 1 - P(Z < 0.16) = 1 - 0.5636 = \fbox{0.4364}

El P(Z<0.16) lo hemos mirado en la Tabla de la Normal(0,1)