Aproximación de la Binomial a la Normal 4475

Un estudio reciente nos muestra que 2 de cada 10 adolescentes de edades comprendidas entre 12 y 16 años de la localidad de Baza consumen alcohol durante los fines de semana. Si elegimos una muestra formada por 100 adolescentes de estas edades, calcula:

a) La probabilidad de que al menos 30 consuman alcohol en los fines de semana.
b) Calcula la probabilidad de que ninguno de los 100 adolescentes consuman alcohol los fines de semana.

SOLUCIÓN

Se trata de una distribución Binomial con parámetros n=100 y p=\frac{2}{10} = 0.2. Se expresa así:

X \longrightarrow B(100,0.2)


La variable X representa el número de adolescentes que consume alcohol los fines de semana.
El problema pide:
a) P(X \geq 30)
b) P(X = 0)

Para el apartado (a) debemos aproximar la Binomial a una Normal por dos motivos:
1) Si usamos las fórmulas de la Binomial, tardaríamos días en terminar
2) Se trata de una buena aproximación porque se cumplen los 3 requisitos:

- n>30 (n=100 se cumple)
- n \cdot p>5 (100·0.2=20 se cumple)
- n \cdot (1-p)>5 (100·0.8=80 se cumple)

Si miramos la teoría, la aproximación es la siguiente:

X \longrightarrow N\left(n \cdot p, \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}\right)

Para nuestro caso será:

X \longrightarrow N\left(100 \cdot 0.2, \sqrt{100 \cdot 0.2 \cdot 0.8}\right)


Hacemos los cálculos y obtenemos

X \longrightarrow N(20, 4)

P(X \geq 30) = P(X^\prime \geq 29.5)
Hemos aplicado la corrección del medio punto o corrección de Yates (hay que hacerlo siempre que se aproxime una Binomial a una Normal)

P(X \geq 29.5)=P(X \geq \frac{29.5-20}{4}) = P(X \geq 2.375)
(hemos tipificado la variable)

P(X \geq 2.375)= 1 - P(X < 2.375) = 1 - 0.9906 = \fbox{0.0094}
El dato 0.9906 lo hemos obtenido mirando las Tablas de la Normal

b) P(X = 0)
Observe que ahora no podemos aproximar a una normal (como en el apartado anterior), porque se trata de un sólo caso (variables discretas), en lugar de un intervalo (variables continuas).
Aquí debemos aplicar la fórmula de la Binomial

P(X=0) = \left( \begin{array}{c} 100 \\ 9 \end{array}  \right) \cdot 0.2^0 \cdot 0.8^{100} = 1 \cdot 1 \cdot 0.8^{100} = 0.0000000002

Observe que el resultado es un número tan pequeño, que con muchas calculadoras posiblemente obtenga 0 como resultado.