Asíntotas de funciones racionales

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Calcula las asíntotas de las siguientes funciones:
– a) f(x)=\frac{2x^2+2}{x+2}
– b) f(x)=\frac{2x+1}{x+2}

SOLUCIÓN

– a) A.V. \fbox{x=-2} porque \lim_{x \rightarrow -2} \frac{2x^2+2}{x+2} = \infty
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2x^2+2}{x+2} = \infty \longrightarrow no hay asíntotas horizontales (por tanto puede haber asíntota oblicua).
A.O. recta y=mx+n, donde m=\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x} y n=\lim_{x \rightarrow \infty} (f(x)-mx)

m=\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{2x^2+2}{x+2}}{x}=\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2x^2+2}{x^2+2x}=2

n=\lim_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{2x^2+2}{x+2}-2x\right) = \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{-4x+2}{x+2}=-4

Por tanto, A.O. \fbox{y=2x-4}

– b) A.V. \fbox{x=-2} porque \lim_{x \rightarrow -2} \frac{2x+1}{x+2} = \infty
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2x+1}{x+2} = 2 \longrightarrow A.H. \fbox{y=2} (por tanto no hay asíntota oblicua).