Base Ortonormal

Demuestras que los vectores \vec{i}(1,0) y \vec{j}(0,1) forman una base ortonormal y expresa el vector \vec{u}(5,3) respecto de dicha base.

SOLUCIÓN

Dos vectores linealmente independientes forman una base.
Si además son ortogonales (perpendiculares), se llama base ortogonal.
Y si además son unitarios (de módulo 1) se llama base ortonormal.

Es claro que \vec{i}(1,0) y \vec{j}(0,1) son independientes (no son proporcionales).
Su producto escalar es \vec{i} \cdot \vec{j}=1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 =0, por tanto son ortogonales.
Veamos que también son unitarios:
|\vec{i}| = +\sqrt{1^2+0^2} = + \sqrt{1}=1
|\vec{j}| = +\sqrt{0^2+1^2} = + \sqrt{1}=1

Por tanto forman una base ortonormal.

El vector \vec{u}(5,3) se puede expresar como:;

(5,3)=5 \cdot (1,0) + 3 \cdot (0,1)

Entonces:

\vec{u}=5 \cdot \vec{i} + 3 \cdot \vec{j}