Calcular límite de una función

, por dani

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\lim\limits_{x \rightarrow 3} \: \frac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{3}}


Si sustituimos "x" por "3" obtenemos
\lim\limits_{x \rightarrow 3} \: \frac{3-3}{\sqrt{3}-\sqrt{3}} = \frac{0}{0} \Longrightarrow INDETERMINACIÓN

La indeterminación 0/0 se resuelve dividiendo numerador y denominador por (x-3).
Como no se puede dividir el denominador, de forma inmediata, lo racionalizamos multiplicando por el conjugado

\lim\limits_{x \rightarrow 3} \: \frac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{3}} = \lim\limits_{x \rightarrow 1} \: \frac{(x-3)(\sqrt{x}+\sqrt{3})}{(\sqrt{x}-\sqrt{3})(\sqrt{x}+\sqrt{3})}=
=\lim\limits_{x \rightarrow 3} \: \frac{(x-3)(\sqrt{x}+\sqrt{3})}{\left( \sqrt{x}\right)^2 - \left( \sqrt{3}\right)^2}=\lim\limits_{x \rightarrow 3} \: \frac{(x-3)(\sqrt{x}+\sqrt{3})}{x - 3}=
=\lim\limits_{x \rightarrow 3} \: \frac{\cancel{(x-3)}(\sqrt{x}+\sqrt{3})}{\cancel{x - 3}}= \sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}

\lim\limits_{x \rightarrow 3} \: \frac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{3}}