Circunferencia a partir de 2 puntos, cuerda y distancia del centro

Determinar la ecuación de la circunferencia, si se sabe que pasa por los puntos A(-4,0) y B(0,4) y su centro está a una distancia de $\sqrt{8}$ unidades de la cuerda $\overline{AB}$

SOLUCIÓN

Dibujamos la situación

Podemos calcular la distancia entre A y B. Su mitad será el valor c.
Entonces, por Pitágoras podemos calcular el radio de la circunferencia.

$\vec{AB} = (4,4)$

$d(A,B) = |\vec{AB}| = \sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32} \longrightarrow c=\frac{\sqrt{32}}{2}$

$r^2 = \left(\sqrt{8}\right)^2 + \left( \frac{\sqrt{32}}{2}\right)^2 = 8+\frac{32}{4} = 16 \longrightarrow \textcolor{blue}{r=4}$

Una vez que tenemos el radio y dos puntos de la circunferencia, podemos calcular su ecuación obteniendo el centro Ç(a,b).

Pasa por $(-4,0) \longrightarrow (-4-a)^2 + (0-b)^2 = 16$
Pasa por $(0,4) \longrightarrow (0-a)^2 + (4-b)^2 = 16$

Debemos resolver el sistema

$\left. 16 + a^2 +8a + b^2 = 16 \atop a^2+16+b^2-8b=16 \right\}$
$\left. a^2 + b^2 +8a = 0 \atop a^2+b^2-8b=0 \right\} \rightarrow 8a=-8b \rightarrow a=-b$
Sustituimos por ejemplo en la 2ª ecuación