Circunferencia a partir de 2 puntos, cuerda y distancia del centro

, por dani

|

Dibujamos la situación

Podemos calcular la distancia entre A y B. Su mitad será el valor c.
Entonces, por Pitágoras podemos calcular el radio de la circunferencia.

\vec{AB} = (4,4)

d(A,B) = |\vec{AB}| = \sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32} \longrightarrow c=\frac{\sqrt{32}}{2}

r^2 = \left(\sqrt{8}\right)^2 + \left( \frac{\sqrt{32}}{2}\right)^2 = 8+\frac{32}{4} = 16 \longrightarrow \textcolor{blue}{r=4}

Una vez que tenemos el radio y dos puntos de la circunferencia, podemos calcular su ecuación obteniendo el centro Ç(a,b).

(x-a)^2 + (y-b)^2 = 16

Pasa por (-4,0) \longrightarrow (-4-a)^2 + (0-b)^2 = 16
Pasa por (0,4) \longrightarrow (0-a)^2 + (4-b)^2 = 16

Debemos resolver el sistema

\left. 16 + a^2 +8a + b^2 = 16 \atop a^2+16+b^2-8b=16 \right\}
\left. a^2 + b^2 +8a = 0 \atop a^2+b^2-8b=0 \right\} \rightarrow 8a=-8b \rightarrow a=-b
Sustituimos por ejemplo en la 2ª ecuación

(-b)^2+b^2-8b=0 \rightarrow 2b^2-8b=0 \rightarrow b=0; b=4

Si b=0 \longrightarrow a=0 \longrightarrow C(0,0)
Si b=4 \longrightarrow a=-4 \longrightarrow C(-4,4)

Tenemos dos soluciones:

\textcolor{blue}{x^2+y^2=4^2}

\textcolor{blue}{(x+4)^2+(y-4)^2=4^2}

Determinar la ecuación de la circunferencia, si se sabe que pasa por los puntos A(-4,0) y B(0,4) y su centro está a una distancia de \sqrt{8} unidades de la cuerda \overline{AB}