Complejos. Real, imaginaria, módulo, división

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Hallar: Re(z), Im(z), ||z||, Re(z-1), Im (z-1), Re (-iz) \:e\: Im (iz) del siguiente número complejo:

z=\frac{(1+i)}{i}

SOLUCIÓN

En primer lugar debemos pasar el número complejo a forma binómica, para poder definir su parte real (Re) y su parte Imaginaria(Im).

Recordemos también que i^2=-1

z = \underbrace{a}_{Re}+\underbrace{b}_{Im}i


|z| =+\sqrt{a^2+b^2}


Para pasarlo a binómica hacemos la división, que se hace multiplicando y dividiendo por el conjugado del denominador.
En este caso, al ser el denominador imaginario puro, basta con multiplicar y dividir por "i"

z=\frac{(1+i)}{i} = \frac{(1+i) \cdot i}{i \cdot i}=\frac{i+i^2}{i^2}=\frac{i-1}{-1}=\frac{i}{-1}+\frac{-1}{-1} = \textcolor{blue}{1-i}

Por tanto z = \fbox{1-i}

Re(z) = 1

Im(z) = -1

|z| = +\sqrt{1^2 + (-1)^2} = +\sqrt{2}

z -1 = -i = \fbox{0-1i}

Re(z-1) = 0

Im(z-1) = -1

-iz = -i(1-i) = -i + i^2 = -i-1 = \fbox{-1-i}

Re(-iz) = -1

iz = i(1-i) = i - i^2 = i+1 = \fbox{1+i}

Im(iz) = 1