Continuidad de las principales funciones

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Continuidad de las principales funciones

Las funciones elementales (polinómicas, racionales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas) son continuas en todo su dominio.

– Ejemplo: las funciones polinómicas tienen como domnio todo R, por tanto son continuas en todo R
– Ejemplo 2: las funciones raciones son continuas en todo su dominio (todo R excepto los puntos que anulan el denominador)

Continuidad de las funciones a trozos

Recordemos que la continuidad de una función se puede entender como el poder dibujarla sin levantar el lápiz del papel.
Las funciones a trozos tienen varias definiciones (una para cada trozo), por lo que es posible que no haya continuidad entre un trozo y el siguiente.
Para comprobarlo tenemos que aplicar la definición de continuidad en un punto, a los puntos que separan dos trozos, fijándonos en lo siguiente:

– Mirar bien los signos , $\leq$ , , $\geq$ de la definición de los trozos (a la hora de calcular la imagen)
– Al calcular el límite en estos puntos que separan trozos, debemos calcular límites laterales.

Veamos un ejemplo:

Estudie la continuidad de la función

$f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc} 3x+3 & si & x \leq 1 \\ \\ x^2+5 & si & x >1 \end{array} \right.$

SOLUCIÓN:
En el intervalo $(-\infty, 1)$ es continua por ser polinomica
En el intervalo $(1, +\infty)$ es continua por ser polinomica
En el punto (punto de separación de ambos trozos) debemos aplicar la definición de continuidad en un punto:

– 1) Comprobamos si hay imagen
$f(1) = 3 \cdot 1 +3 = 6$

– 2) Calculamos los límites laterales
$\lim\limits_{x \rightarrow 1^+} f(x) = \lim\limits_{x \rightarrow 1} x^2+5 = 1^2 + 5 = 6$
$\lim\limits_{x \rightarrow 1^-} f(x) = \lim\limits_{x \rightarrow 1} 3x+3 = 3 \cdot 1 + 3 = 6$
La 2ª condición también la cumple: existe el límite y vale 6