Derivadas Ejercicios

derivada de una función Ejercicios_Resueltos

Calcula la derivada de la funció:
– $y = \frac{sen \: (x^2+1)^2}{\sqrt{1-x^2}}$

SOLUCIÓN

$f(x) = \frac{\text{sen}^{2}\left(x^{2} + 1\right)}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Aplicamos la derivada de un cociente: $\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime} = \frac{u^{\prime}\,v - u\,v^{\prime}}{v^{2}}$

$f(x) = \frac{\overbrace{\text{sen}^{2}\left(x^{2} + 1\right)}^{u}}{\underbrace{\sqrt{1 - x^{2}}}_{v}}$

$f^{\prime}(x) = \frac{\left(\text{sen}^{2}\left(x^{2} + 1\right)\right)^{\prime} \cdot \sqrt{1 - x^{2}} - \text{sen}^{2}\left(x^{2} + 1\right) \cdot \left(\sqrt{1 - x^{2}}\right)^{\prime}}{\sqrt{1 - x^{2}}^{2}}$

Para $\left(\text{sen}^{2}\left(x^{2} + 1\right)\right)^{\prime}$ aplicamos: $\left(u^{n}\right)^{\prime} = n\,u^{n-1}\,u^{\prime}$

$\left(\text{sen}^{2}\left(x^{2} + 1\right)\right)^{\prime} = 2\text{sen}^{2 - 1}\left(x^{2} + 1\right) \cdot \left(\text{sen}\left(x^{2} + 1\right)\right)^{\prime}$

Para $\left(\text{sen}\left(x^{2} + 1\right)\right)^{\prime}$ aplicamos: $\left(\text{sen} u\right)^{\prime} = \cos u \cdot u^{\prime}$

$\left(\text{sen}\left(x^{2} + 1\right)\right)^{\prime} = \cos\left(x^{2} + 1\right) \cdot \left(x^{2} + 1\right)^{\prime}$

Derivamos polinomios: $\left(x^{2} + 1\right)^{\prime} = 2x$

$= \cos\left(x^{2} + 1\right) \cdot 2x$

Sustituimos:

$= 2\text{sen}^{2 - 1}\left(x^{2} + 1\right) \cdot \cos\left(x^{2} + 1\right) \cdot 2x$

Simplificamos:

$= 2 \cdot \text{sen}\left(x^{2} + 1\right) \cdot \cos\left(x^{2} + 1\right) \cdot 2x$

Para $\left(\sqrt{1 - x^{2}}\right)^{\prime}$ aplicamos: $\left(\sqrt{u}\right)^{\prime} = \frac{u^{\prime}}{2\sqrt{u}}$

$\left(\sqrt{1 - x^{2}}\right)^{\prime} = \frac{\left(1 - x^{2}\right)^{\prime}}{2\sqrt{1 - x^{2}}}$

Derivamos polinomios: $\left(1 - x^{2}\right)^{\prime} = -2x$

$= \frac{-2x}{2\sqrt{1 - x^{2}}}$

Sustituimos:

$f^{\prime}(x) = \boxed{\frac{2 \cdot \text{sen}\left(x^{2} + 1\right) \cdot \cos\left(x^{2} + 1\right) \cdot 2x \cdot \sqrt{1 - x^{2}} - \text{sen}^{2}\left(x^{2} + 1\right) \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{1 - x^{2}}}}{\sqrt{1 - x^{2}}^{2}}}$

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