Derivadas Ejercicios

Calcula la derivada de la función
$y = (e^{-x} -x)^2$

SOLUCIÓN

$f(x) = \left(e^{-x} - x\right)^{2}$

Aplicamos la derivada de una potencia (regla de la cadena): $\left(u^{n}\right)^{\prime} = n\,u^{n-1}\,u^{\prime}$

$f^{\prime}(x) = 2\left(e^{-x} - x\right)^{2 - 1} \cdot \left(e^{-x} - x\right)^{\prime}$

Para $\left(e^{-x} - x\right)^{\prime}$ aplicamos: $\left(u + v\right)^{\prime} = u^{\prime} + v^{\prime}$

$\left(e^{-x} - x\right)^{\prime} = \left(e^{-x}\right)^{\prime} - \left(x\right)^{\prime}$

Derivamos cada término:

$= e^{-x} \cdot \left(-x\right)^{\prime} - 1$

Derivamos polinomios: $\left(-x\right)^{\prime} = -1$

$= e^{-x} \cdot \left(-1\right) - 1$

Simplificamos:

$= -e^{-x} - 1$

Sustituimos:

$f^{\prime}(x) = 2\left(e^{-x} - x\right)^{2 - 1} \cdot \left(-e^{-x} - 1\right)$

Simplificamos:

$f^{\prime}(x) = \boxed{2 \cdot \left(e^{-x} - x\right) \cdot \left(-e^{-x} - 1\right)}$