Derivadas Ejercicios

derivada de una función Ejercicios_Resueltos

Calcula la derivada de las funciones:
– $y = cos \: (3x-2)$
– $y = cos \: \frac{5x-3}{x^3}$

SOLUCIÓN

$f(x) = \cos\left(3x - 2\right)$

Aplicamos la derivada del coseno: $\left(\cos u\right)^{\prime} = -\text{sen} u \cdot u^{\prime}$

$f^{\prime}(x) = -\text{sen}\left(3x - 2\right) \cdot \left(3x - 2\right)^{\prime}$

Derivamos polinomios: $\left(3x - 2\right)^{\prime} = 3$

$f^{\prime}(x) = \boxed{-\text{sen}\left(3x - 2\right) \cdot 3}$

$f(x) = \cos\left(\frac{5x - 3}{x^{3}}\right)$

Aplicamos la derivada del coseno: $\left(\cos u\right)^{\prime} = -\text{sen} u \cdot u^{\prime}$

$f^{\prime}(x) = -\text{sen}\left(\frac{5x - 3}{x^{3}}\right) \cdot \left(\frac{5x - 3}{x^{3}}\right)^{\prime}$

Para $\left(\frac{5x - 3}{x^{3}}\right)^{\prime}$ aplicamos: $\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime} = \frac{u^{\prime}\,v - u\,v^{\prime}}{v^{2}}$

$\left(\frac{5x - 3}{x^{3}}\right)^{\prime} = \frac{\left(5x - 3\right)^{\prime} \cdot x^{3} - \left(5x - 3\right) \cdot \left(x^{3}\right)^{\prime}}{\left(x^{3}\right)^{2}}$

$\left(5x - 3\right)^{\prime} = 5 \cdot 1 + 0$

Simplificamos:

$= 5$

$\left(x^{3}\right)^{\prime} = 3x^{2}$

Sustituimos:

$= \frac{5x^{3} - \left(5x - 3\right) \cdot 3x^{2}}{\left(x^{3}\right)^{2}}$

Simplificamos:

$= \frac{5x^{3} - \left(5x - 3\right) \cdot 3x^{2}}{x^{6}}$

Sustituimos:

$f^{\prime}(x) = \boxed{-\text{sen}\left(\frac{5x - 3}{x^{3}}\right) \cdot \frac{5x^{3} - \left(5x - 3\right) \cdot 3x^{2}}{x^{6}}}$

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