Derivadas Ejercicios

derivada de una función Ejercicios_Resueltos

Calcula la derivada de las funciones:
– $y = tg \: (7x^2-5)$
– $y = tg^3 \: (7x^2-3)^2$

SOLUCIÓN

$f(x) = \text{tg}\left(7x^{2} - 5\right)$

Aplicamos la derivada de la tangente: $\left(\text{tg} u\right)^{\prime} = \frac{u^{\prime}}{\cos^{2} u}$

$f^{\prime}(x) = \frac{\left(7x^{2} - 5\right)^{\prime}}{\cos^{2}\left(7x^{2} - 5\right)}$

Derivamos polinomios: $\left(7x^{2} - 5\right)^{\prime} = 14x$

$f^{\prime}(x) = \boxed{\frac{14x}{\cos^{2}\left(7x^{2} - 5\right)}}$

$f(x) = \left(\text{tg}^{3}\left(7x^{2} - 3\right)\right)^{2}$

Aplicamos la derivada de una potencia (regla de la cadena): $\left(u^{n}\right)^{\prime} = n\,u^{n-1}\,u^{\prime}$

$f^{\prime}(x) = 2\left(\text{tg}^{3}\left(7x^{2} - 3\right)\right)^{2 - 1} \cdot \left(\text{tg}^{3}\left(7x^{2} - 3\right)\right)^{\prime}$

Para $\left(\text{tg}^{3}\left(7x^{2} - 3\right)\right)^{\prime}$ aplicamos: $\left(u^{n}\right)^{\prime} = n\,u^{n-1}\,u^{\prime}$

$\left(\text{tg}^{3}\left(7x^{2} - 3\right)\right)^{\prime} = 3\text{tg}^{3 - 1}\left(7x^{2} - 3\right) \cdot \left(\text{tg}\left(7x^{2} - 3\right)\right)^{\prime}$

Para $\left(\text{tg}\left(7x^{2} - 3\right)\right)^{\prime}$ aplicamos: $\left(\text{tg} u\right)^{\prime} = \frac{u^{\prime}}{\cos^{2} u}$

$\left(\text{tg}\left(7x^{2} - 3\right)\right)^{\prime} = \frac{\left(7x^{2} - 3\right)^{\prime}}{\cos^{2}\left(7x^{2} - 3\right)}$

Derivamos polinomios: $\left(7x^{2} - 3\right)^{\prime} = 14x$

$= \frac{14x}{\cos^{2}\left(7x^{2} - 3\right)}$

Sustituimos:

$= 3\text{tg}^{3 - 1}\left(7x^{2} - 3\right) \cdot \frac{14x}{\cos^{2}\left(7x^{2} - 3\right)}$

Simplificamos:

$= 3\text{tg}^{2}\left(7x^{2} - 3\right) \cdot \frac{14x}{\cos^{2}\left(7x^{2} - 3\right)}$

Sustituimos:

$f^{\prime}(x) = 2\left(\text{tg}^{3}\left(7x^{2} - 3\right)\right)^{2 - 1} \cdot 3\text{tg}^{2}\left(7x^{2} - 3\right) \cdot \frac{14x}{\cos^{2}\left(7x^{2} - 3\right)}$

Simplificamos:

$f^{\prime}(x) = \boxed{2\text{tg}^{3}\left(7x^{2} - 3\right) \cdot 3\text{tg}^{2}\left(7x^{2} - 3\right) \cdot \frac{14x}{\cos^{2}\left(7x^{2} - 3\right)}}$

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