Derivadas Ejercicios

derivada de una función Ejercicios_Resueltos

Calcula la derivada de la función:
– $y = tg^3 \: \left( \frac{3x^2-5}{x^4} \right)^5$

SOLUCIÓN

$f(x) = \text{tg}^{3}\left(\left(\frac{3x^{2} - 5}{x^{4}}\right)^{5}\right)$

Aplicamos la derivada de una potencia (regla de la cadena): $\left(u^{n}\right)^{\prime} = n\,u^{n-1}\,u^{\prime}$

$f^{\prime}(x) = 3\text{tg}^{3 - 1}\left(\left(\frac{3x^{2} - 5}{x^{4}}\right)^{5}\right) \cdot \left(\text{tg}\left(\left(\frac{3x^{2} - 5}{x^{4}}\right)^{5}\right)\right)^{\prime}$

Para $\left(\text{tg}\left(\left(\frac{3x^{2} - 5}{x^{4}}\right)^{5}\right)\right)^{\prime}$ aplicamos: $\left(\text{tg} u\right)^{\prime} = \frac{u^{\prime}}{\cos^{2} u}$

$\left(\text{tg}\left(\left(\frac{3x^{2} - 5}{x^{4}}\right)^{5}\right)\right)^{\prime} = \frac{\left(\left(\frac{3x^{2} - 5}{x^{4}}\right)^{5}\right)^{\prime}}{\cos^{2}\left(\left(\frac{3x^{2} - 5}{x^{4}}\right)^{5}\right)}$

Para $\left(\left(\frac{3x^{2} - 5}{x^{4}}\right)^{5}\right)^{\prime}$ aplicamos: $\left(u^{n}\right)^{\prime} = n\,u^{n-1}\,u^{\prime}$

$\left(\left(\frac{3x^{2} - 5}{x^{4}}\right)^{5}\right)^{\prime} = 5\left(\frac{3x^{2} - 5}{x^{4}}\right)^{5 - 1} \cdot \left(\frac{3x^{2} - 5}{x^{4}}\right)^{\prime}$

Para $\left(\frac{3x^{2} - 5}{x^{4}}\right)^{\prime}$ aplicamos: $\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime} = \frac{u^{\prime}\,v - u\,v^{\prime}}{v^{2}}$

$\left(\frac{3x^{2} - 5}{x^{4}}\right)^{\prime} = \frac{\left(3x^{2} - 5\right)^{\prime} \cdot x^{4} - \left(3x^{2} - 5\right) \cdot \left(x^{4}\right)^{\prime}}{\left(x^{4}\right)^{2}}$

$\left(3x^{2} - 5\right)^{\prime} = 3 \cdot 2x + 0$

Simplificamos:

$= 6x$

$\left(x^{4}\right)^{\prime} = 4x^{3}$

Sustituimos:

$= \frac{6x \cdot x^{4} - \left(3x^{2} - 5\right) \cdot 4x^{3}}{\left(x^{4}\right)^{2}}$

Simplificamos:

$= \frac{6x \cdot x^{4} - \left(3x^{2} - 5\right) \cdot 4x^{3}}{x^{8}}$

Sustituimos:

$= 5\left(\frac{3x^{2} - 5}{x^{4}}\right)^{5 - 1} \cdot \frac{6x \cdot x^{4} - \left(3x^{2} - 5\right) \cdot 4x^{3}}{x^{8}}$

Simplificamos:

$= 5\left(\frac{3x^{2} - 5}{x^{4}}\right)^{4} \cdot \frac{6x \cdot x^{4} - \left(3x^{2} - 5\right) \cdot 4x^{3}}{x^{8}}$

Sustituimos:

$= \frac{5\left(\frac{3x^{2} - 5}{x^{4}}\right)^{4} \cdot \frac{6x \cdot x^{4} - \left(3x^{2} - 5\right) \cdot 4x^{3}}{x^{8}}}{\cos^{2}\left(\left(\frac{3x^{2} - 5}{x^{4}}\right)^{5}\right)}$

Sustituimos:

$f^{\prime}(x) = 3\text{tg}^{3 - 1}\left(\left(\frac{3x^{2} - 5}{x^{4}}\right)^{5}\right) \cdot \frac{5\left(\frac{3x^{2} - 5}{x^{4}}\right)^{4} \cdot \frac{6x \cdot x^{4} - \left(3x^{2} - 5\right) \cdot 4x^{3}}{x^{8}}}{\cos^{2}\left(\left(\frac{3x^{2} - 5}{x^{4}}\right)^{5}\right)}$

Simplificamos:

$f^{\prime}(x) = \boxed{3\text{tg}^{2}\left(\left(\frac{3x^{2} - 5}{x^{4}}\right)^{5}\right) \cdot \frac{5\left(\frac{3x^{2} - 5}{x^{4}}\right)^{4} \cdot \frac{6x \cdot x^{4} - \left(3x^{2} - 5\right) \cdot 4x^{3}}{x^{8}}}{\cos^{2}\left(\left(\frac{3x^{2} - 5}{x^{4}}\right)^{5}\right)}}$

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