Ecuación Trigonométrica

Resuelve la ecuación:
$sen \: \left( \frac{\pi}{4} + x \right) - \sqrt{2} \: sen \: x = 0$

SOLUCIÓN

Ecuación trigonométrica:

$sen \: \left( \frac{\pi}{4} + x \right) - \sqrt{2} \: sen \: x = 0$

Aplicamos la fórmula de adición del seno:

$\sin(A+B) = \sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B$

Con $A = \frac{\pi}{4}$ , $B = x$ :

$\sin\!\left(\frac{\pi}{4}+x\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x$

Sustituyendo en la ecuación:

$\frac{\sqrt{2}}{2}\cos(x)+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin(x)-\sqrt{2}\sin(x) = 0$

Simplificamos:

$\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x = 0$

Dividimos entre $\frac{\sqrt{2}}{2}$ :

$\cos x-\sin x = 0$

$\cos x = \sin x$

Dividimos entre $\cos x$ :

$\tan x = 1$

Consultamos la tabla de valores notables:

$\tan(x) = 1$

Solución general ( $k \in \mathbb{Z}$ ):

$x = \frac{\pi}{4}+k\pi$

Soluciones en $[0, 2\pi)$ :

$x = \frac{\pi}{4} \quad {\color{green}\checkmark} \qquad x = \frac{5\pi}{4} \quad {\color{green}\checkmark}$