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Ecuación Trigonométrica

ecuaciones_trigonometricas Ejercicios_Resueltos trigonometría

Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica:
$\sqrt{2}\: cos \left( \frac{x}{2}\right) - cos \: x = 1$

SOLUCIÓN

Ecuación trigonométrica:

$\sqrt{2}\: cos \left( \frac{x}{2}\right) - cos \: x = 1$

Aplicamos la fórmula del coseno del ángulo doble:

$\cos(x) = 2\cos^2\!\left(\frac{x}{2}\right) - 1$

Ecuación cuadrática en $\cos\left(\frac{x}{2}\right)$ .

Realizamos el cambio de variable $t = \cos\left(\frac{x}{2}\right)$ :

$-2t^2+\sqrt{2}t=0$

Como $c = 0$ , factorizamos:

$t(-2t + \sqrt{2}) = 0$

$\boxed{t_1 = 0} \qquad \boxed{t_2 = \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Para $t = 0$ (raíz 1), resolvemos $\cos\left(\frac{x}{2}\right) = 0$ :

Consultamos la tabla de ángulos notables:

$\cos\left(\frac{x}{2}\right) = 0$

Solución general en $u = \frac{x}{2}$ ( $k \in \mathbb{Z}$ ):

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2}+k\pi$

Multiplicamos por $2$ :

$x = \pi+2k\pi$

Soluciones en $[0, 2\pi)$ :

$x = \pi \; (180^{\circ})$

Para $t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ (raíz 2), resolvemos $\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ :

Consultamos la tabla de ángulos notables:

$\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Solución general en $u = \frac{x}{2}$ ( $k \in \mathbb{Z}$ ):

$\frac{x}{2} = \pm\frac{\pi}{4}+2k\pi$

Multiplicamos por $2$ :

$x = \pm\frac{\pi}{2}+4k\pi$

Soluciones en $[0, 2\pi)$ :

$x = \frac{\pi}{2} \; (90^{\circ}) \qquad x = \frac{3\pi}{2} \; (270^{\circ})$

Otra forma de resolverla es usando la fórmula del ángulo mitad:

$cos \left( \frac{x}{2} \right) = \sqrt{\frac{1 + cos(x)}{2}}$

Entonces la ecuación quedaría:

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{1 + cos(x)}{2}} - cos(x) = 1$

$\cancel{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + cos(x)}}{\cancel{\sqrt{2}}} - cos(x) = 1$

$\sqrt{1 + cos(x)} - cos(x) = 1$

$\sqrt{1 + cos(x)} = 1 + cos(x)$

Elevamos al cuadrado para eliminar raíces

$\left(\sqrt{1 + cos(x)} \right)^2= (1 + cos(x))^2$

$1 + cos(x) = 1 + cos^2(x) + 2 \cdot cos(x)$

$0 = cos^2(x) + cos(x)$

Ecuación cuadrática en $\cos(x)$ .

Factorizamos

$cosx \cdot (cos(x) + 1)=0$

Producto de dos factores igual a cero nos da dos opciones:

$cos (x) = 0 \longrightarrow x= 90^{\circ} , 270 ^{\circ}$

$cos (x) + 1= 0 \longrightarrow cos (x) = -1 \longrightarrow x= 180^{\circ}$

Soluciones en $[0, 2\pi)$ :

$x = \frac{\pi}{2} \; (90^{\circ}) \qquad x = \frac{3\pi}{2} \; (270^{\circ})$

$x = \pi \; (180^{\circ})$

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