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Ecuación matricial. Ejercicio 4529

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Resuelva la ecuación matricial B+AX=A^2 , siendo las matrices

A = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \qquad B = \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 3 \end{array} \right)

SOLUCIÓN

B+AX=A^2

AX=A^2-B

Multiplicamos por la inversa (por la izquierda)

\underbrace{A^{-1} \cdot A}_{I}X=A^{-1} \cdot (A^2-B)

I \cdot X=A^{-1} \cdot (A^2-B)

X=A^{-1} \cdot (A^2-B)

Con esto, la ecuación matricial estaría resuelta y solo nos quedaría hacer las operaciones con las matrices.
Si embargo, se puede operar un poco más y así nos ahorramos operaciones

X=A^{-1} \cdot (A^2-B)
X=A^{-1} \cdot A^2 - A^{-1} \cdot B
X=A^{-1} \cdot A \cdot A - A^{-1} \cdot B
X=I \cdot A - A^{-1} \cdot B
X= A - A^{-1} \cdot B

En primer lugar debemos calcular la inversa A^{-1}, usando por ejemplo este método. Obtenemos como resultado:

A^{-1} = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)

Entonces tenemos:

X = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 3 \end{array} \right)

X = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{ccc} 2 & -3 & -3 \\ 3 & -3 & 0 \\ -1 & 2 & 3 \end{array} \right)

X = \left( \begin{array}{ccc} -2 & 4 & 4 \\ -2 & 3 & 1 \\ 1 & -2 & -2 \end{array} \right)