Ecuaciones Exponenciales

Resuelve la ecuación
$5^{3x+2} + 3 \cdot 5^{6x+2} - 100 = 0$

SOLUCIÓN

Ecuación exponencial

$5^{3x+2} + 3 \cdot 5^{6x+2} - 100 = 0$

Absorbemos los exponentes constantes:

$25\cdot5^{3x}+75\cdot5^{6x}-100=0$

Cambio de variable $t=5^{3x}$ (con $t>0$ ):

Cambio de variable: sea $t=125^x$ (con $t>0$ ).

$75t^2+25t-100=0$

Aplicamos la fórmula general:

$t=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Con $a=75,\quad b=25,\quad c=-100$ :

$t=\dfrac{-25\pm\sqrt{25^2-4\cdot75\cdot(-100)}}{2\cdot75}=\dfrac{-25\pm\sqrt{30625}}{150}$

$t=\frac{-25\pm175}{150}$

$t_1=1$ →

$125^{x}=125^{0}$

Igualamos los exponentes:

$x=0$

$\boxed{x=0}$

$t_2=\frac{-4}{3}$ → sin solución ( $t\leq 0$ , pero $125^x>0$ ).