Ecuaciones Logarítmicas

ecuaciones_logaritmicas Ejercicios_Resueltos logaritmos

Resuelve la ecuación:
$\ln (x-3) + \ln (x+1) = \ln 3 + \ln (x-1)$

SOLUCIÓN

Ecuación logarítmica:

$\ln (x-3) + \ln (x+1) = \ln 3 + \ln (x-1)$

Aplicamos la propiedad del producto en cada miembro:

$\ln\bigl((x-3)(x+1)\bigr)=\ln\bigl(3(x-1)\bigr)$

Misma base, igualamos los argumentos:

$(x-3)(x+1)=3(x-1)$

Desarrollamos los productos:

$x^2-2x-3=3x-3$

$x^2-5x=0$

Aplicamos la fórmula general:

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Con $a=1,\quad b=-5,\quad c=0$ :

$x=\frac{5\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot1\cdot0}}{2\cdot1}=\frac{5\pm\sqrt{25}}{2}$

$\begin{array}{ccc} & & x_1=\frac{5+5}{2}=5\\ & \nearrow & \\x=\frac{5\pm\sqrt{25}}{2} & & \\ & \searrow & \\ & & x_2=\frac{5-5}{2}=0\end{array}$

$\boxed{x_1=5}$

$\boxed{x_2=0}$

Verificamos que las soluciones obtenidas sean válidas. Si originan el logaritmo de un número negativo, no son válidas en el conjunto de los números reales.

$x_1=5$ : $x-3>0\Rightarrow$ ✓, $x+1>0\Rightarrow$ ✓, $3>0\Rightarrow$ ✓, $x-1>0\Rightarrow$ ✓

$x_2=0$ : $x-3>0\Rightarrow$ ✗, $x+1>0\Rightarrow$ ✓, $3>0\Rightarrow$ ✓, $x-1>0\Rightarrow$ ✗

$x=5$

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