Ecuaciones Trigonométricas

Resuelve la ecuación:
$2 \: sen^2 \: x - 1 = 0$

SOLUCIÓN

Ecuación trigonométrica:

$2 \: sen^2 \: x - 1 = 0$

Ecuación cuadrática en $\sin(x)$ .

Realizamos el cambio de variable $t = \sin(x)$ :

$2t^2-1=0$

Discriminante: $\Delta = 0^2 - 4 \cdot (2) \cdot (-1) = 8$

Raíz $t_{1} = 0.707107$

Raíz $t_{2} = -0.707107$

Raíz 1: $t_{1} = 0.707107$

Valor notable: $\sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Consultamos la tabla de valores notables:

$\sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Solución general ( $k \in \mathbb{Z}$ ):

$x = \frac{\pi}{4}+2k\pi \;\vee\; x = \frac{3\pi}{4}+2k\pi$

Soluciones en $[0, 2\pi)$ :

$x = \frac{\pi}{4} \quad {\color{green}\checkmark} \qquad x = \frac{3\pi}{4} \quad {\color{green}\checkmark}$

Raíz 2: $t_{2} = -0.707107$

Valor notable: $\sin(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Consultamos la tabla de valores notables:

$\sin(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Solución general ( $k \in \mathbb{Z}$ ):

$x = \frac{5\pi}{4}+2k\pi \;\vee\; x = \frac{7\pi}{4}+2k\pi$

Soluciones en $[0, 2\pi)$ :

$x = \frac{5\pi}{4} \quad {\color{green}\checkmark} \qquad x = \frac{7\pi}{4} \quad {\color{green}\checkmark}$