Navega sin publicidad Regístrate GRATIS

Si ya estás registrado/a Identifícate

Ecuaciones Trigonométricas

ecuaciones_trigonometricas Ejercicios_Resueltos trigonometría

Resuelve la ecuación:
$cos \: 2x - 3 \: sen \: x + 1= 0$

SOLUCIÓN

Ecuación trigonométrica:

$cos \: 2x - 3 \: sen \: x + 1= 0$

Aplicamos la identidad del coseno doble:

$\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$

Ecuación cuadrática en $\sin(x)$ .

Realizamos el cambio de variable $t = \sin(x)$ :

$-2t^2-3t+2=0$

Aplicamos la fórmula general:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Con $a=-2,\quad b=-3,\quad c=2$ :

$t = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot (-2) \cdot 2}}{2 \cdot (-2)} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{-4}$

$\begin{array}{ccc} & & t_1 = \frac{3+5}{-4} = -2\\ & \nearrow & \\t = \frac{3\pm\sqrt{25}}{-4} & & \\ & \searrow & \\ & & t_2 = \frac{3-5}{-4} = \frac{1}{2}\end{array}$

$\boxed{t_1 = -2}$

$\boxed{t_2 = \frac{1}{2}}$

$t = -2$ está fuera del dominio $[-1, 1]$ de $\sin$ : descartada.

Para $t = \frac{1}{2}$ , resolvemos $\sin(x) = \frac{1}{2}$ :

Consultamos la tabla de valores notables:

$\sin(x) = \frac{1}{2}$

Solución general ( $k \in \mathbb{Z}$ ):

$x = \frac{\pi}{6}+2k\pi \;\vee\; x = \frac{5\pi}{6}+2k\pi$

Soluciones en $[0, 2\pi)$ :

$x = \frac{\pi}{6} \quad {\color{green}\checkmark} \qquad x = \frac{5\pi}{6} \quad {\color{green}\checkmark}$

Comentar el ejercicio