Ecuaciones Trigonométricas

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Resuelve la ecuación:
$4 \: sen^2 \: x \: cos^2 \: x + 2 cos^2 \: x - 2 = 0$

SOLUCIÓN

Primero, analicemos la ecuación:

$4 \sin^2 x \cos^2 x + 2 \cos^2 x - 2 = 0$

Para resolver esto, usamos identidades trigonométricas para simplificar la expresión.

Voy a factorizar el término común $2\cos^2 x$ de los dos primeros términos:

$2 \cos^2 x(2 \sin^2 x + 1) - 2 = 0$

También puedo usar la identidad $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ para expresar todo en términos de $\cos^2 x$ :

$4(1 - \cos^2 x)\cos^2 x + 2 \cos^2 x - 2 = 0$

Desarrollando:

$4 \cos^2 x - 4 \cos^4 x + 2 \cos^2 x - 2 = 0$

Combinando términos semejantes:

$6 \cos^2 x - 4 \cos^4 x - 2 = 0$

Reorganizando:

$-4 \cos^4 x + 6 \cos^2 x - 2 = 0$

Multiplicando por -1:

$4 \cos^4 x - 6 \cos^2 x + 2 = 0$

Esta es una ecuación cuadrática en términos de $\cos^2 x$ . Si hacemos $u = \cos^2 x$ , tenemos:

$4u^2 - 6u + 2 = 0$

Dividiendo toda la ecuación por 2:

$2u^2 - 3u + 1 = 0$

Usando la fórmula cuadrática o factorizando:

$(2u - 1)(u - 1) = 0$

Esto nos da dos soluciones:

- $2u - 1 = 0 \Rightarrow u = \frac{1}{2}$

- $u - 1 = 0 \Rightarrow u = 1$

Volviendo a las variables originales:

1. $\cos^2 x = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$

2. $\cos^2 x = 1 \Rightarrow \cos x = \pm 1$

Para cada caso, las soluciones son:

1. $\cos x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$ : $x = \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}$ donde $n$ es cualquier entero

2. $\cos x = \pm 1$ : $x = n\pi$ donde $n$ es cualquier entero

Verifiquemos estas soluciones sustituyéndolas en la ecuación original:

Para $x = 0$ (donde $\cos x = 1$ ):

$4 \sin^2 0 \cos^2 0 + 2 \cos^2 0 - 2 = 4(0)(1) + 2(1) - 2 = 0$

✓

Para $x = \frac{\pi}{4}$ (donde $\cos x = \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ):

$4 \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + 2 \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 - 2 = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$

✓

Por lo tanto, las soluciones generales son:

- $x = n\pi$ para cualquier entero $n$

- $x = \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}$ para cualquier entero $n$

En forma más explícita, las soluciones son:

$x = 0, \pm\pi, \pm 2\pi, ... \text{ y } x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}, ...$

Resolvemos de otra forma:

Voy a resolver la ecuación

$4 \sin^2 x \cos^2 x + 2 \cos^2 x - 2 = 0$

usando la identidad $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ para transformar el último término.

Primero, reemplazo $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ en el término $2 \cos^2 x - 2$ :

$2 \cos^2 x - 2 = 2(1 - \sin^2 x) - 2 = 2 - 2 \sin^2 x - 2 = -2 \sin^2 x$

Entonces la ecuación se convierte en:

$4 \sin^2 x \cos^2 x - 2 \sin^2 x = 0$

Factorizo $\sin^2 x$ :

$\sin^2 x(4 \cos^2 x - 2) = 0$

Esto nos da dos casos:

Caso 1: $\sin^2 x = 0$

Esto implica $\sin x = 0$ , por lo tanto $x = n\pi$ donde $n$ es cualquier entero.

Caso 2: $4 \cos^2 x - 2 = 0$

Resolviendo: $4 \cos^2 x = 2$

$\cos^2 x = \frac{1}{2}$

$\cos x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$

Las soluciones para este caso son: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}$ donde $n$ es cualquier entero.

Verifiquemos algunas soluciones:

Para $x = 0$ (donde $\sin x = 0, \cos x = 1$ ):

$4(0)^2(1)^2 + 2(1)^2 - 2 = 0 + 2 - 2 = 0$

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Para $x = \frac{\pi}{4}$ (donde $\sin x = \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ):

$4\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 - 2 = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$

✓

Por lo tanto, las soluciones generales son:

- $x = n\pi$ para cualquier entero $n$
- $x = \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}$ para cualquier entero $n$

En forma más explícita:
$x = ..., -\pi, 0, \pi, 2\pi, ...$ y $x = ..., -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, ...$

Ecuación trigonométrica:

$4 \: sen^2 \: x \: cos^2 \: x + 2 cos^2 \: x - 2 = 0$

Aplicamos la identidad $\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$ para eliminar el producto:

$\sin^2(x)\cos^2(x) = \bigl(1-\cos^2(x)\bigr)\cos^2(x) = \cos^2(x)-\cos^4(x)$

Ecuación bicuadrática en $\cos(x)$ .

$-4\cos^4(x)+6\cos^2(x)-2=0$

Realizamos el cambio de variable $t = \cos^2(x)$ , con $0 \le t \le 1$ :

$-4t^2+6t-2=0$

Aplicamos la fórmula general:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Con $a=-4,\quad b=6,\quad c=-2$ :

$t = \frac{(-6) \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot (-4) \cdot (-2)}}{2 \cdot (-4)} = \frac{-6 \pm \sqrt{4}}{-8}$

$\begin{array}{ccc} & & t_1 = \frac{-6+2}{-8} = \frac{1}{2}\\ & \nearrow & \\t = \frac{-6\pm\sqrt{4}}{-8} & & \\ & \searrow & \\ & & t_2 = \frac{-6-2}{-8} = 1\end{array}$