Ecuaciones con soluciones complejas

Resuelve en el conjunto de los complejos la ecuación:
$x^5+32=0$

SOLUCIÓN

Resolvemos la ecuación con números complejos:

$x^{5}+32=0$

$x^{5} = -32$

$x_1 = -\sqrt[5]{32} = -2$

$\boxed{x_1 = -2}$

Las demás raíces son complejas:

$x_k = 2 \cdot e^{i\frac{(2k+1)\pi}{5}}, \quad k=0,1,\ldots,4$

(la raíz real corresponde a k=2)

$\boxed{x_{2,3} = 2\left(\cos\frac{\pi}{5} \pm i\sin\frac{\pi}{5}\right)}$

$\boxed{x_{4,5} = 2\left(\cos\frac{3\pi}{5} \pm i\sin\frac{3\pi}{5}\right)}$