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Ecuaciones con soluciones complejas

ecuaciones con números complejos Ejercicios_Resueltos números complejos

Resuelve en el conjunto de los complejos las ecuaciones:

– $z^2 + 4=0$
– $z^2-2z+5=0$
– $2z^2+10=0$

SOLUCIÓN

Resolvemos la ecuación con números complejos:

$z^{2}+4=0$

Aplicamos la fórmula general:

$z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$z = \frac{0 \pm \sqrt{0^2-4\cdot1\cdot4}}{2\cdot1} = \frac{0 \pm \sqrt{-16}}{2}$

El discriminante es negativo (Δ = -16): las soluciones son números complejos.

$z=\frac{0 \pm \sqrt{-16}}{2}$

$=\frac{0 \pm \sqrt{16 \cdot (-1)}}{2}=\frac{0 \pm \sqrt{16} \cdot \sqrt{-1}}{2}$

Simplificamos:

$z=\frac{0 \pm 4 \cdot i}{2}$

$\boxed{z_1 = +2i}$

$\boxed{z_2 = -2i}$

Resolvemos la ecuación con números complejos:

$z^{2}-2z+5=0$

Aplicamos la fórmula general:

$z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$z = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot1\cdot5}}{2\cdot1} = \frac{2 \pm \sqrt{-16}}{2}$

El discriminante es negativo (Δ = -16): las soluciones son números complejos.

$z=\frac{2 \pm \sqrt{-16}}{2}$

$=\frac{2 \pm \sqrt{16 \cdot (-1)}}{2}=\frac{2 \pm \sqrt{16} \cdot \sqrt{-1}}{2}$

Simplificamos:

$z=\frac{2 \pm 4 \cdot i}{2}$

$\boxed{z_1 = 1+2i}$

$\boxed{z_2 = 1-2i}$

Resolvemos la ecuación con números complejos:

$2z^{2}+10=0$

Aplicamos la fórmula general:

$z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$z = \frac{0 \pm \sqrt{0^2-4\cdot2\cdot10}}{2\cdot2} = \frac{0 \pm \sqrt{-80}}{4}$

El discriminante es negativo (Δ = -80): las soluciones son números complejos.

$z=\frac{0 \pm \sqrt{-80}}{4}$

$=\frac{0 \pm \sqrt{80 \cdot (-1)}}{4}=\frac{0 \pm \sqrt{80} \cdot \sqrt{-1}}{4}$

Simplificamos:

$z=\frac{0 \pm 4\sqrt{5} \cdot i}{4}$

$\boxed{z_1 = +\sqrt{5}i}$

$\boxed{z_2 = -\sqrt{5}i}$

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