Ecuaciones con soluciones complejas

Resuelve en el conjunto de los complejos las 4 soluciones de la ecuación:

– $z^4 - 8z =0$

SOLUCIÓN

Resolvemos la ecuación con números complejos:

$z^{4}-8z=0$

Sacamos factor común z:

$z \cdot (z^{3}-8) = 0$

Producto nulo:

$\boxed{z=0}$

Segundo factor:

$z^{3}-8=0$

Despejamos el cubo:

$z^{3} = 8$

Aplicamos la raíz cúbica:

$z_1 = \sqrt[3]{8} = 2$

$\boxed{z_1 = 2}$

Las raíces complejas se obtienen con las raíces cúbicas de la unidad:

$\omega = -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i, \quad \omega^2 = -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$

$\boxed{z_2 = -1+\sqrt{3}i}$

$\boxed{z_3 = -1-\sqrt{3}i}$