Ej 1 de Combinación Lineal

Expresa el vector \vec{u}(3,4) como combinación lineal de los vectores \vec{a}(1,2) y \vec{b}(3,5)

SOLUCIÓN

\vec{u} = \alpha \cdot \vec{a} + \beta \cdot \vec{b}

(3,4) = \alpha \cdot (1,2) + \beta \cdot (3,5)

(3,4) = (\alpha \cdot 1,\alpha \cdot 2) + (\beta \cdot 3,\beta \cdot 5)

(3,4) = (\alpha,2 \alpha) + (3 \beta ,5 \beta)

(3,4) = (\alpha+ 3 \beta,2 \alpha + 5 \beta)

Si igualamos componente a componente obtendremos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
\left.
\begin{array}{ccc}
\alpha+ 3 \beta = 3 \\
2 \alpha + 5 \beta = 4
\end{array}
\right\}
Resolvemos el sistema por sustitución:
Despejamos en la primera ecuación
\alpha = 3 - 3 \beta
Y sustituimos en la segunda
2 \cdot (3 - 3 \beta )+ 5 \beta = 4
6 - 6 \beta + 5 \beta = 4
6 - 4 = 6 \beta - 5 \beta
\fbox{2 =  \beta}

\alpha = 3 - 3 \beta
\alpha = 3 - 3 \cdot 2
\fbox{ \alpha = - 3 }

Por tanto, a combinación lineal que nos piden es:

\fbox{ \vec{u} = -3 \vec{a} + 2 \vec{b} }