Ej 1 de Punto Medio de un Segmento

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Deduce la fórmula del punto medio de un segmento

SOLUCIÓN

Dado el segmento determinado por los puntos A(a_1,a_2) y B(b_1,b_2) queremos hallar el punto medio M del segmento \overline{AB}

Llamaremos (x,y) a las coordenadas del punto medio M que queremos calcular

Podemos ver que el vector \vec{AB} es el doble que el vector \vec{AM}

\vec{AB}=2 \cdot \vec{AM}


(b_1-a_1,b_2-a_2)=2 \cdot (x-a_1,y-a_2)


(b_1-a_1,b_2-a_2)= (2x-2a_1,2y-2a_2)


Igualando componente a componente:
– b_1-a_1=2x-2a_1 \longrightarrow b_1+a_1=2x \longrightarrow x=\frac{a_1+b_1}{2}
– b_2-a_2=2y-2a_2 \longrightarrow b_2+a_2=2y \longrightarrow y=\frac{a_2+b_2}{2}
Por tanto las coordenadas del punto medio son:

M \left( \frac{a_1+b_1}{2},\frac{a_2+b_2}{2} \right)