Estructura metálica con arcos parabólicos

Una estructura metálica tiene la forma de dos arcos parabólicos como muestra la figura. La altura del arco mayor es de 25 metros y su base mide 18 metros, mientras que la altura del arco menor es de 18 metros y su base mide 12 metros. Ambos arcos están unidos por 5 soportes equidistantes. Hallar la longitud total de los soportes.

SOLUCIÓN

Dibujamos unos ejes de coordenadas y ponemos los datos conocidos

Debemos obtener la ecuación de ambas parábolas, de las que conocemos su vértice y sus puntos de corte con los ejes.

Para la parábola grande y=ax^2+bx+c

El vértice está en x=0 y es calcula con la fórmula x=\frac{-b}{2a}, Entonces:

0=\frac{-b}{2a} \longrightarrow -b=0 \longrightarrow \fbox{b=0}

La parábola queda entonces así: y=ax^+c

Como pasa por (0,25) \longrightarrow 25=a \cdot 0^2 +c \longrightarrow \fbox{c=25}

La parábola queda: y=ax^+25

Los puntos de corte (que sabemos que son \pm 9) se obtienen resolviendo la ecuación de segundo grado
ax^+25=0 \longrightarrow  x^2=\frac{-25}{a}
81=\frac{-25}{a} \longrightarrow 81a=-25 \longrightarrow \fbox{a=\dfrac{-25}{81}}

La ecuación de la parábola grande es \fbox{y_1=-\dfrac{25}{81}x^2+25}

Procediendo de forma análoga, hallamos la ecuación de la otra parábola:

La ecuación de la parábola pequeña es \fbox{y_2=-\dfrac{1}{2}x^2+18}

Para calcular la medida de los soportes verticales tenemos en cuenta dos cosas:

- Al 5 soportes equidistantes, están en los puntos: -6, -3, 0, 3, 6
- Calculamos su medida haciendo y_2(x) - y_1(x)

Para x=0 \longrightarrow y_2(0) - y_1(0)=25-18 = \fbox{7}
Para x=3 \longrightarrow y_2(3) - y_1(3)=22.22-13.5 = \fbox{8.72}
Para x=6 \longrightarrow y_2(6) - y_1(6)=13.89-0 = \fbox{13.89}

Por la simetría de las parábolas, los soportes de la izquierda miden lo mismo que los de la derecha.

Por tanto, la longitud total de los soportes será: 7+2 \cdot 8.72 + 2 \cdot 13.89 = \fbox{\textcolor{blue}{52.22 \: m}}