Estudio Global de Funciones

Realiza un estudio global (dominio, simetrías, corte con los ejes, asíntotas, monotonía, extremos y representación gráfica) de la función:
$f(x) = \frac{2x^2+2}{x^2-4}$

SOLUCIÓN

$f(x) = \frac{2x^2+2}{x^2-4}$

Dominio

Se trata de una función racional. Su dominio es todos los números excepto los que anulan el denominador.

$x=\pm \sqrt{4} = \pm 2$

$Dom(f) = R - \{ -2, +2 \}$

Corte con los ejes de coordenadas

Si $x=0 \longrightarrow y= \frac{2 \cdot 0^2+2}{0^2-4} =\frac{2}{-4}=- \frac{1}{2}$
Punto de corte $\left( 0,-\frac{1}{2} \right)$
Si $y=0 \longrightarrow 0=\frac{2x^2+2}{x^2-4} \longrightarrow 0=2x^2+2$
$2x^2=-2 \Rightarrow x^2=-1 \Rightarrow x = \sqrt{-1}$
No tiene soluciones reales.
No hay puntos de corte en el eje de abcisas (eje horizontal)

Simetrías

$f(x) = \frac{2x^2+2}{x^2-4}$
$f(-x) = \frac{2 \cdot (-x)^2+2}{(-x)^2-4} = \frac{2x^2+2}{x^2-4}$

Como se trata de una función par, es simétrica respecto al eje de ordenadas (eje vertical)

Asíntotas

$\lim_{x \rightarrow -2} \frac{2x^2+2}{x^2-4} = \infty$
$\lim_{x \rightarrow +2} \frac{2x^2+2}{x^2-4} = \infty$
Tiene asíntotas verticales en $\fbox{x=-2}$ y $\fbox{x=+2}$
$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2x^2+2}{x^2-4} = 2$
Tiene asíntota horizontal en $\fbox{y=2}$

Monotonía

$f(x) = \frac{2x^2+2}{x^2-4}$
$f\textsc{\char13}(x) = \frac{4x \cdot (x^2-4) - (2x^2+2) \cdot 2x}{(x^2-4)^2}$
$f\textsc{\char13}(x) = \frac{\cancel{4x^3} - 16x \cancel{-4x^3} -4x}{(x^2-4)^2}$
$f\textsc{\char13}(x) = \frac{ - 20x }{(x^2-4)^2}$

$f\textsc{\char13}(x) =0$
$\frac{-20x}{(x^2-4)^2}=0$
$- 20x =0 \Rightarrow x=0$

Las soluciones de la ecuación anterior y los puntos de discontinuidad nos dividen la recta real en varios intervalos

$\begin{array}{c|c|c|c} (-\infty, -2) & (-2,0) & (0,2) & (2, +\infty) \\ \hline & & & \end{array}$
Tomamos un punto de cada intervalo para comprobar el signo de la derivada
$f\textsc{\char13}(-3)=\frac{ - 20 \cdot (-3) }{((-3)^2-4)^2} > 0 \longrightarrow$ CRECE
$f\textsc{\char13}(-1)=\frac{ - 20 \cdot (-1) }{((-1)^2-4)^2} > 0 \longrightarrow$ CRECE
$f\textsc{\char13}(1)=\frac{ - 20 \cdot (1) }{((1)^2-4)^2} < 0 \longrightarrow$ DECRECE
$f\textsc{\char13}(3)=\frac{ - 20 \cdot (3) }{((3)^2-4)^2} < 0 \longrightarrow$ DECRECE

$\begin{array}{c|c|c|c} (-\infty, -2) & (-2,0) & (0,2) & (2, +\infty) \\ \hline \nearrow & \nearrow & \searrow & \searrow \end{array}$

Extremos

Teniendo en cuenta que:
– En x=0 es continua
– Crece a la izquierda de 0
– Decrece a la derecha de 0
Hay un Máximo en x=0
Calculamos la segunda coordenada del máximo
Si $x=0 \longrightarrow y= \frac{2 \cdot 0^2+2}{0^2-4} =\frac{2}{-4}=- \frac{1}{2}$
$MAX \left( 0,-\frac{1}{2} \right)$

Matemáticas IES