Estudio Global de Funciones

Realiza un estudio global (dominio, simetrías, corte con los ejes, asíntotas, monotonía, extremos y representación gráfica) de la función:
f(x) = \frac{2x^2+2}{x^2-4}

SOLUCIÓN

f(x) = \frac{2x^2+2}{x^2-4}

Dominio

Se trata de una función racional. Su dominio es todos los números excepto los que anulan el denominador.
x^2-4=0
x^2=4
x=\pm \sqrt{4} = \pm 2

Dom(f) = R - \{ -2, +2 \}

Corte con los ejes de coordenadas

Si x=0 \longrightarrow y= \frac{2 \cdot 0^2+2}{0^2-4} =\frac{2}{-4}=- \frac{1}{2}
Punto de corte \left( 0,-\frac{1}{2} \right)
Si y=0 \longrightarrow 0=\frac{2x^2+2}{x^2-4} \longrightarrow 0=2x^2+2
2x^2=-2 \Rightarrow x^2=-1 \Rightarrow x = \sqrt{-1}
No tiene soluciones reales.
No hay puntos de corte en el eje de abcisas (eje horizontal)

Simetrías

f(x) = \frac{2x^2+2}{x^2-4}
f(-x) = \frac{2 \cdot (-x)^2+2}{(-x)^2-4} = \frac{2x^2+2}{x^2-4}

Como f(x)=f(-x) se trata de una función par, es simétrica respecto al eje de ordenadas (eje vertical)

Asíntotas

\lim_{x \rightarrow -2} \frac{2x^2+2}{x^2-4} = \infty
\lim_{x \rightarrow +2} \frac{2x^2+2}{x^2-4} = \infty
Tiene asíntotas verticales en \fbox{x=-2} y \fbox{x=+2}
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2x^2+2}{x^2-4} = 2
Tiene asíntota horizontal en \fbox{y=2}

Monotonía

f(x) = \frac{2x^2+2}{x^2-4}
f’(x) = \frac{4x \cdot (x^2-4) - (2x^2+2) \cdot 2x}{(x^2-4)^2}
f’(x) = \frac{\cancel{4x^3} - 16x \cancel{-4x^3} -4x}{(x^2-4)^2}
f’(x) = \frac{ - 20x }{(x^2-4)^2}

f’(x) =0
 \frac{-20x}{(x^2-4)^2}=0
 - 20x =0  \Rightarrow x=0

Las soluciones de la ecuación anterior y los puntos de discontinuidad nos dividen la recta real en varios intervalos


\begin{array}{c|c|c|c}
 (-\infty, -2) & (-2,0) & (0,2) & (2, +\infty) \\
\hline
 & & & 
\end{array}
Tomamos un punto de cada intervalo para comprobar el signo de la derivada
f’(-3)=\frac{ - 20 \cdot (-3) }{((-3)^2-4)^2} > 0 \longrightarrow CRECE
f’(-1)=\frac{ - 20 \cdot (-1) }{((-1)^2-4)^2} > 0 \longrightarrow CRECE
f’(1)=\frac{ - 20 \cdot (1) }{((1)^2-4)^2} < 0 \longrightarrow DECRECE
f’(3)=\frac{ - 20 \cdot (3) }{((3)^2-4)^2} < 0 \longrightarrow DECRECE


\begin{array}{c|c|c|c}
 (-\infty, -2) & (-2,0) & (0,2) & (2, +\infty) \\
\hline
 \nearrow & \nearrow & \searrow & \searrow
\end{array}

Extremos

Teniendo en cuenta que:
- En x=0 es continua
- Crece a la izquierda de 0
- Decrece a la derecha de 0
Hay un Máximo en x=0
Calculamos la segunda coordenada del máximo
Si x=0 \longrightarrow y= \frac{2 \cdot 0^2+2}{0^2-4} =\frac{2}{-4}=- \frac{1}{2}
MAX \left( 0,-\frac{1}{2} \right)