Estudio Global de Funciones

Realiza un estudio global (dominio, simetrías, corte con los ejes, asíntotas, monotonía, extremos y representación gráfica) de la función:
$f(x) = \frac{x^2+1}{x^2-1}$

SOLUCIÓN

Estudio global de $f(x) = \frac{x^2+1}{x^2-1}$

Dominio

$x^2-1=0 \longrightarrow x^2=1 \longrightarrow x=\pm 1$

$\textcolor{blue}{Dom(f)= R - \{-1,1\}}$

Simetrías

$f(x) = \frac{x^2+1}{x^2-1}$
$f(-x) = \frac{(-x)^2+1}{(-x)^2-1} = \frac{x^2+1}{x^2-1}=f(x)$

Es una función PAR (simétrica respecto al eje OY)

Corte con los ejes de coordenadas

$x=0 \longrightarrow y=\frac{0^2+1}{0^2-1}=-1$
Punto de corte $\textcolor{blue}{(0,-1)}$

$y=0 \longrightarrow 0=\frac{x^2+1}{x^2-1} \longrightarrow 0=x^2+1 \longrightarrow -1=x^2$ (sin soluciones reales).
No hay corte con el eje OX

Asíntotas verticales

$x^2-1=0 \longrightarrow x^2=1 \longrightarrow x=\pm 1$

$\lim_{x \rightarrow -1} \frac{x^2+1}{x^2-1} = \frac{2}{0} \longrightarrow \infty$
$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^2+1}{x^2-1} = \frac{2}{0} \longrightarrow \infty$

Tiene dos asíntotas verticales: $\textcolor{blue}{x=-1}$ y $\textcolor{blue}{x=1}$

Veamos el comportamiento de la función en las proximidades de las asíntotas

$\lim_{x \rightarrow -1^-} \frac{x^2+1}{x^2-1} = \frac{2}{0^+} = +\infty$
$\lim_{x \rightarrow -1^+} \frac{x^2+1}{x^2-1} = \frac{2}{0^-} = -\infty$
$\lim_{x \rightarrow 1^-} \frac{x^2+1}{x^2-1} = \frac{2}{0^-} = -\infty$
$\lim_{x \rightarrow 1^+}\frac{x^2+1}{x^2-1} = \frac{2}{0^+} = +\infty$

Asíntotas horizontales

$\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{x^2+1}{x^2-1} = 1 \qquad \lim_{x \rightarrow -\infty}\frac{x^2+1}{x^2-1} = 1$

Tiene asíntota horizontal $\textcolor{blue}{y=1}$ a ambos lados.

Asíntotas oblicuas

No hay asíntota oblicuas (es incompatible con la A. Horizontal)

Monotonía y extremos

$f^{\prime}(x) = \frac{2x(x^2-1)-(x^2+1)2x}{(x^2-1)^2}=\frac{-4x}{(x^2-1)^2}$

$f^{\prime}(x) = 0 \longrightarrow \frac{-4x}{(x^2-1)^2}= 0 \longrightarrow -4x=0 \longrightarrow x=0$

Para definir los intervalos, además de x=0 que acabamos de calcular, debemos considerar los puntos que no pertenecen al dominio: x=-1 y x=1

Los intervalos a considerar son

$(-\infty,-1)$

$(1,+\infty)$

Analizamos el signo de la derivada en cada uno de los intervalos, para ello tomamos un punto de cada intervalo, le aplicamos la derivada y miramos el signo.

$f^{\prime}(-2) =\frac{-4 \cdot (-2)}{\left((-2)^2-1\right)^2} > 0 \longrightarrow$ CRECE
Observe que el denominador siempre será positivo, al ser un cuadrado

$f^{\prime}(-0.5) =\frac{-0.5 \cdot (-2)}{+} > 0 \longrightarrow$ CRECE

$f^{\prime}(0.5) =\frac{0.5 \cdot (-2)}{+} < 0 \longrightarrow$ DECRECE

$f^{\prime}(2) =\frac{2 \cdot (-2)}{+} < 0 \longrightarrow$ DECRECE

La monotonía queda así:

$(-\infty,-1)$			$(1,+\infty)$
$\nearrow$	$\nearrow$	$\searrow$	$\searrow$

El estudio de la monotonía junto a la continuidad de la función otorgan un máximo local en x=0

Con todo lo anterior, podemos ya dibujar la gráfica.
Si no lo tiene claro aún, puede darle algunos valores para dibujar unos cuantos puntos que nos ayuden a dibujar la gráfica.

Matemáticas IES