Factorizar polinomios de 4º y 5º grado

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Factoriza los siguientes polinomios:

– x^5+3x^4+x^3-3x^2-2x
– x^4-x^3+x^2-x

SOLUCIÓN

En primer lugar sacamos factor común

x^5+3x^4+x^3-3x^2-2x = x \cdot (x^4+3x^3+x^2-3x-2)

Ahora continuamos con Ruffini

\polyhornerscheme[x=1,resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{x^4+3x^3+x^2-3x-2}

\polyhornerscheme[x=-1,resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{x^3+4x^2+5x+2}

\polyhornerscheme[x=-1,resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{x^2+3x+2}

\polyhornerscheme[x=-2,resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{x+2}

Por tanto la factorización completa es:

x^5+3x^4+x^3-3x^2-2x = x \cdot (x-1) \cdot (x+1)^2 \cdot (x+2)

Para el segundo polinomio sacamos factor común
x^4-x^3+x^2-x = x \cdot (x^3-x^2+x-1)

Ahora aplicamos Ruffini

\polyhornerscheme[x=1,resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{x^3-x^2+x-1}

Quedando finalmente:

x^4-x^3+x^2-x = x \cdot (x-1) \cdot (x^2+1)

Observe que x^2+1 no se puede factorizar porque x^2+1=0 no tiene raíces reales:
x^2+1=0 \longrightarrow x^2=-1 \longrightarrow x=\sqrt{-1}