Factorizar polinomios paso a paso

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Factoriza los siguientes polinomios:

a) x^3-3x^2-10x
b) 3x^2-12
c) x^3+4x^2+x-6

SOLUCIÓN

Debemos recordar las Técnicas para factorizar polinomios

La primera de las técnicas en usar debe ser la de sacar factor común.
Si no hay factor común probamos igualdades notables o resolver la ecuación de segundo grado. Si no es posible, probamos finalmente Ruffini.

a) x^3-3x^2-10x
Sacamos factor común
x^3-3x^2-10x = x \cdot (x^2-3x-10)

Resolvemos la ecuación de 2º grado x^2-3x-10=0

\begin{array}{ccc} & & x_1 = \frac{3+7}{2}=5\\ & \nearrow &\\ x=\frac{-(-3)\pm \sqrt{(-3)^2-4 \cdot1\cdot(-10)}}{2 \cdot1}= \frac{3\pm \sqrt{49}}{2}& &\\ & \searrow &\\& &x_2 = \frac{3-7}{2}=-2\end{array}

Por tanto x^2-3x-10=(x-5) \cdot (x+2)

El polinomio factorizado quedaría:

x^3-3x^2-10x =\fbox{x \cdot (x-5) \cdot (x+2)}

b) 3x^2-12

Sacamos factor común: 3x^2-12 = 3 \cdot (x^2-4)

Aplicamos igualdades notables

3x^2-12 = 3 \cdot (x^2-4) = 3 \cdot (x^2-2^2) = \fbox{3 \cdot (x-2) \cdot (x+2)}

c) x^3+4x^2+x-6
Dado que no podemos sacar factor común, al ser de tercer grado, debemos pasar directamente a Ruffini

\polyhornerscheme[x=1,resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{x^3+4x^2+x-6}

Significa que el polinomio se puede expresar así:

x^3+4x^2+x-6 = (x-1) \cdot (x^2+5x+6)


Para factorizar el (x^2+5x+6) tenemos dos opciones:
1) seguir por Ruffini
2) resolver la ecuación de 2º grado
Lo haremos resolviendo la ecuación

\begin{array}{ccc} & & x_1 = \frac{-5+1}{2}=-2\\ & \nearrow &\\ x=\frac{-5\pm \sqrt{5^2-4 \cdot1\cdot6}}{2 \cdot1}= \frac{-5\pm \sqrt{1}}{2}& &\\ & \searrow &\\& &x_2 = \frac{-5-1}{2}=-3\end{array}

Lo que significa que (x^2+5x+6) = (x+2) \cdot (x+3), con lo que el polinomio totalmente factorizado quedaría así:

x^3+4x^2+x-6 = \fbox{ (x-1) \cdot (x+2) \cdot (x+3)}