Factorizar polinomios paso a paso

Ejercicios_Resueltos factorizar_polinomios

Factoriza los siguientes polinomios:

a) $x^3-3x^2-10x$
b) $3x^2-12$
c) $x^3+4x^2+x-6$

SOLUCIÓN

Debemos recordar las Técnicas para factorizar polinomios

La primera de las técnicas en usar debe ser la de sacar factor común.
Si no hay factor común probamos igualdades notables o resolver la ecuación de segundo grado. Si no es posible, probamos finalmente Ruffini.

a) $x^3-3x^2-10x$
Sacamos factor común
$x^3-3x^2-10x = x \cdot (x^2-3x-10)$

Resolvemos la ecuación de 2º grado $x^2-3x-10=0$

$\begin{array}{ccc} & & x_1 = \frac{3+7}{2}=5\\ & \nearrow &\\ x=\frac{-(-3)\pm \sqrt{(-3)^2-4 \cdot1\cdot(-10)}}{2 \cdot1}= \frac{3\pm \sqrt{49}}{2}& &\\ & \searrow &\\& &x_2 = \frac{3-7}{2}=-2\end{array}$

Por tanto $x^2-3x-10=(x-5) \cdot (x+2)$

El polinomio factorizado quedaría:

$x^3-3x^2-10x =\fbox{x \cdot (x-5) \cdot (x+2)}$

b) $3x^2-12$

Sacamos factor común: $3x^2-12 = 3 \cdot (x^2-4)$

Aplicamos igualdades notables

$3x^2-12 = 3 \cdot (x^2-4) = 3 \cdot (x^2-2^2) = \fbox{3 \cdot (x-2) \cdot (x+2)}$

c) $x^3+4x^2+x-6$
Dado que no podemos sacar factor común, al ser de tercer grado, debemos pasar directamente a Ruffini

$\polyhornerscheme[x=1,resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{x^3+4x^2+x-6}$

Significa que el polinomio se puede expresar así:

$x^3+4x^2+x-6 = (x-1) \cdot (x^2+5x+6)$

Para factorizar el $(x^2+5x+6)$ tenemos dos opciones:
1) seguir por Ruffini
2) resolver la ecuación de 2º grado
Lo haremos resolviendo la ecuación

$\begin{array}{ccc} & & x_1 = \frac{-5+1}{2}=-2\\ & \nearrow &\\ x=\frac{-5\pm \sqrt{5^2-4 \cdot1\cdot6}}{2 \cdot1}= \frac{-5\pm \sqrt{1}}{2}& &\\ & \searrow &\\& &x_2 = \frac{-5-1}{2}=-3\end{array}$

Lo que significa que $(x^2+5x+6) = (x+2) \cdot (x+3)$ , con lo que el polinomio totalmente factorizado quedaría así:

$x^3+4x^2+x-6 = \fbox{ (x-1) \cdot (x+2) \cdot (x+3)}$

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Mensajes

2 de diciembre de 2022, 17:15, por patricia

en el c también se puede hacer con -2
y el resultado final es
x1-(-2)
x2-(-1)
x3-(-3)
y todo seria
1(x+2)(x+1)(x+1)
- 2 de diciembre de 2022, 19:02, por dani
  
  Aunque empieces con -2 el resultado final será siempre el mismo (x+2)·(x-1)·(x+3)