Factorizar un polinomio es descomponerlo en un producto de polinomios primos (irreducibles).
Los polinomios irreducibles son los de grado cero (números), los de primer grado y los de grado mayor o igual a 2 que no tengan raíces reales.
Ejemplo: El polinomio
factorizado quedaría así:
![\fbox{5x^3+5x^2-50x+40 = 5 \cdot (x-1) \cdot (x-2) \cdot (x+4)} \fbox{5x^3+5x^2-50x+40 = 5 \cdot (x-1) \cdot (x-2) \cdot (x+4)}](local/cache-vignettes/L414xH30/1dbbb8fe48fa714d8da82ac0aa83f87f-259ea.png?1688067150)
Técnicas para factorizar polinomios
Para factorizar polinomios se suelen usar una o varias de las siguientes técnicas:
Sacar factor común
Ejemplo: ![4x^2+4x = 4x \cdot (x+1) 4x^2+4x = 4x \cdot (x+1)](local/cache-vignettes/L177xH21/bf4f5b6b448df5004619cfd570b51fd6-74e69.png?1688067150)
Usar las igualdades notables
Veamos algunos ejemplos de uso de las igualdades notables
![x^2-9 = x^2-3^2 = (x+3) \cdot (x-3) x^2-9 = x^2-3^2 = (x+3) \cdot (x-3)](local/cache-vignettes/L275xH21/6259b9031cd782d1e200f2aeb0650d0d-ac43f.png?1688067150)
![x^2+2x+1 = (x+1)^2 x^2+2x+1 = (x+1)^2](local/cache-vignettes/L175xH21/934c55a546d4a1102b0a3fcb5a7bc038-82329.png?1688067150)
Resolver la ecuación de segundo grado
Cuando el polinomio a factorizar (o alguno de sus factores) es de segundo grado, podemos resolver la ecuación de segundo grado
Si la ecuación
tiene como soluciones
y
, entonces podemos expresar el polinomio como:
![ax^2+bx+c= a \cdot (x-s_1) \cdot (x-s_2) ax^2+bx+c= a \cdot (x-s_1) \cdot (x-s_2)](local/cache-vignettes/L279xH21/d2ca0f0199f3f9fdadcd163e9988fa6e-b7d66.png?1688067150)
Ejemplo: Factorizar el polinomio
Si resolvemos la ecuación
obtenemos como soluciones 2 y 3.
Entonces ![5x^2-25x+30 = 5 \cdot (x-2) \cdot (x-3) 5x^2-25x+30 = 5 \cdot (x-2) \cdot (x-3)](local/cache-vignettes/L284xH21/d4410c66b709ce8bf10bbb845cf6f49a-11c26.png?1688067150)
Método de Ruffini
Podemos usar la Regla de Ruffini como en este ejemplo:
Factorizar el polinomio: ![5x^3+5x^2-50x+40 5x^3+5x^2-50x+40](local/cache-vignettes/L164xH18/64d3057dd53c8f6c8076ddcc54ee0b73-9da6e.png?1688067150)
![\polyhornerscheme[x=1,resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{5x^3+5x^2-50x+40} \polyhornerscheme[x=1,resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{5x^3+5x^2-50x+40}](local/cache-vignettes/L239xH90/2ab730494934f360db2c51889f57f435-facae.png?1688067150)
![\polyhornerscheme[x=2,resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{5x^2+10x-40} \polyhornerscheme[x=2,resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{5x^2+10x-40}](local/cache-vignettes/L185xH90/6bd76c4f251a1f658958ea876bb538f5-081b9.png?1688067150)
![\polyhornerscheme[x=-4,resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{5x+20} \polyhornerscheme[x=-4,resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{5x+20}](local/cache-vignettes/L147xH90/063db89d5c30b2ffda6c62a72e1d75ec-d7bf3.png?1688067150)
Observe el cambio de signo: a las raíces 1, 2 y -4 le corresponden los factores
,
y ![(x+4) (x+4)](local/cache-vignettes/L53xH19/464d673faeff1e0ffbafc75aa4a1e7c6-c3e41.png?1688067150)
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