Factorización de Polinomios

Factorizar un polinomio es descomponerlo en un producto de polinomios primos (irreducibles).
Los polinomios irreducibles son los de grado cero (números), los de primer grado y los de grado mayor o igual a 2 que no tengan raíces reales.

Ejemplo: El polinomio 5x^3+5x^2-50x+40 factorizado quedaría así:

\fbox{5x^3+5x^2-50x+40 = 5 \cdot (x-1) \cdot (x-2) \cdot (x+4)}

Técnicas para factorizar polinomios

Para factorizar polinomios se suelen usar una o varias de las siguientes técnicas:

Sacar factor común

Ejemplo: 4x^2+4x = 4x \cdot (x+1)

Usar las igualdades notables

Veamos algunos ejemplos de uso de las igualdades notables

x^2-9 = x^2-3^2 = (x+3) \cdot (x-3)
x^2+2x+1 = (x+1)^2

Resolver la ecuación de segundo grado

Cuando el polinomio a factorizar (o alguno de sus factores) es de segundo grado, podemos resolver la ecuación de segundo grado

Si la ecuación ax^2+bx+c=0 tiene como soluciones s_1 y s_2, entonces podemos expresar el polinomio como:

ax^2+bx+c= a \cdot (x-s_1) \cdot (x-s_2)


Ejemplo: Factorizar el polinomio 5x^2-25x+30

Si resolvemos la ecuación 5x^2-25x+30=0 obtenemos como soluciones 2 y 3.

Entonces 5x^2-25x+30 = 5 \cdot (x-2) \cdot (x-3)

Método de Ruffini

Podemos usar la Regla de Ruffini como en este ejemplo:

Factorizar el polinomio: 5x^3+5x^2-50x+40

\polyhornerscheme[x=1,resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{5x^3+5x^2-50x+40}

\polyhornerscheme[x=2,resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{5x^2+10x-40}

\polyhornerscheme[x=-4,resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{5x+20}

Observe el cambio de signo: a las raíces 1, 2 y -4 le corresponden los factores (x-1) , (x-2) y (x+4)