Función temperatura de pastel

La temperatura de un pastel que se saca a enfriar de un horno a 200 grados centígrados, es una función del tiempo (medida en minutos) dada por

$T(t)=(T_A-T_H) \cdot \left(1-e^{-kt} \right) + T_H$

donde

es la temperatura ambiente a la que inicialmente se colocó el pastel,

es la temperatura del horno.

– a) Si después de 10 minutos el pastel está a 40 grados, calcula la constante
– b) Encuentra la rapidez (en grados/minutos) con la que decrece la temperatura, cuando recién se saca del horno.
– c) Describe que pasa con la temperatura del pastel para muy grande

SOLUCIÓN

$T(t)=(T_A-T_H) \cdot \left(1-e^{-kt} \right) + T_H$

Sustituimos en la fórmula los valores conocidos

$T(t)=(20-200) \cdot \left(1-e^{-kt} \right) + 200$

$T(t)=(-180) \cdot \left(1-e^{-kt} \right) + 200$

– a) Si después de 10 minutos el pastel está a 40 grados, calcula la constante

$T(10)=(-180) \cdot \left(1-e^{-10k} \right) + 200 = 40$
Debemos resolver la ecuación para calcular k
$(-180) \cdot \left(1-e^{-10k} \right) + 200 = 40$
$(-180) \cdot \left(1-e^{-10k} \right) = -160$

$\left(1-e^{-10k} \right) = \frac{-160}{-180}$

$1-e^{-10k}= \frac{8}{9} \longrightarrow 1- \frac{8}{9}=e^{-10k}$

$\frac{1}{9}=e^{-10k} \longrightarrow \frac{1}{9}=\frac{1}{e^{10k}} \longrightarrow e^{10k}=9$

Ecuación exponencial que resolvemos tomando logaritmos

$e^{10k}=9$
$Ln \: e^{10k} =Ln(9)$
$10k \cdot Ln (e) =Ln(9) \longrightarrow \textcolor{blue}{k=\frac{Ln(9)}{10}}$

– b) Encuentra la rapidez (en grados/minutos) con la que decrece la temperatura, cuando recién se saca del horno.

Podemos calcular la rapidez como la derivada en t=0

$T(t)=(-180) \cdot \left(1-e^{-kt} \right) + 200$

$T^{\prime}(t)=(-180) \cdot \left(0-e^{-kt} \cdot (-k)\right) +0$

$T^{\prime}(t)=(-180) \cdot k \cdot e^{-kt}$

$T^{\prime}(0)=(-180) \cdot k \cdot e^{-k \cdot 0}$

$\textcolor{blue}{T^{\prime}(0)=(-180) \cdot k}$

– c) Describe que pasa con la temperatura del pastel para muy grande

Calculamos el límite para t tendiendo hacia infinito
$\lim_{t \rightarrow +\infty}(-180) \cdot \left(1-e^{-kt} \right) + 200=(-180) \cdot \left(1-e^{-k \cdot (+\infty)} \right) + 200 =$
$(-180) \cdot (1-0)+200 = \fbox{20}$