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Funciones - Continuidad (analíticamente)

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Halla el valor de k para que la siguiente función sea continua.
f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc} x^2-4 & si & x \leq 3 \\x+k & si & x > 3 \end{array} \right.

SOLUCIÓN

f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc} x^2-4 & si & x \leq 3 \\x+k & si & x > 3 \end{array} \right.

Ambos trozos son funciones polinómicas y por tanto continuas en cualquier intervalo, independientemente de lo que valga k.

En el punto x=3, que separa ambos trozos, debemos aplicar la definición de continuidad en un punto

f(3) = 3^2-4 = \textcolor{blue}{5}

\lim_{x \rightarrow 3^-} f(x) = 3^2-4= \textcolor{blue}{5}

\lim_{x \rightarrow 3^+} f(x) = \textcolor{blue}{ 3+k}

Para que sea continua en x=3 los tres resultados anteriores deben ser iguales.
Entonces 3+k=5 \longrightarrow \textcolor{blue}{k=2}