Funciones Monotonía

, por dani

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Estudia la monotonía de la función f(x)=x^4+4x^3

SOLUCIÓN:

Para estudiar la monotonía de una función se analiza el signo de su derivada.

f(x)=x^4+4x^3
f^\prime(x)=4x^3+12x^2

Para definir los intervalos igualamos al derivada a cero y resolvemos

f^\prime(x)=0 \longrightarrow 4x^3+12x^2=0 \longrightarrow x^2(4x+12)=0

Una solución es x=0
Otra es 4x+12=0 \longrightarrow 4x=-12 \longrightarrow x= -3

Entonces los intervalos a considerar son:
(-\infty,-3) \qquad (-3,0) \qquad (0,+\infty)

Debemos analizar el signo de la derivada en cada unos de los intervalos

-4 \in (-\infty,-3) \longrightarrow f^\prime(-4)=4 \cdot (-4)^3+12 \cdot (-4)^2 =-64 <0 \longrightarrow DECRECE

-1 \in (-3,0) \longrightarrow f^\prime(-1)=4 \cdot (-1)^3+12 \cdot (-1)^2 =8>0 \longrightarrow CRECE

1 \in (0, +\infty) \longrightarrow f^\prime(1)=4 \cdot 1^3+12 \cdot 1^2 =16>0 \longrightarrow CRECE

Dibujamos la gráfica para comprobar que los resultados obtenidos son correctos