Funciones gráfica problemas

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Lanzamos verticalmente un cohete. La altura y (en metros) a la que se encuentra en cada instante x (en segundos) viene determinada por la función: y = -5x^2 + 500x. Se pide:

- a) Dibuja la gráfica de la función
- b) Indica cuál es su dominio
- c) ¿Cuánto tiempo pasará para que alcance su altura máxima? ¿Cuál será esa altura máxima?
- d) ¿En qué intervalo de tiempo estará a una altura mayor de 4.500 metros?

SOLUCIÓN

En este problema la "acción" se va a desarrollar en las partes positivas de ambos ejes.
El número de segundos no puede ser negativo.
La altura del cohete tampoco puede ser negativa.
Por tanto, preparamos la siguiente gráfica:

La función y = -5x^2 + 500x es una parábola (polinómica de segundo grado) que debemos dibujar sólo en la parte positiva de los ejes.

Calculamos el vértice (recordemos que la coordenada x del vértice responde a la fórmula x=\frac{-b}{2a}
x=\frac{-500}{2 \cdot (-5)}=50
La coordenada "y" será:
y = -5 \cdot 50^2 + 500 \cdot 50=12500
Por tanto, el vértice es (50,12500)

El coeficiente (-5) negativo de x² nos dice que la parábola está orientada hacia abajo (vértice arriba y ramas hacia abajo).

Calculamos los puntos de corte con los ejes de coordenadas:

Si x=0 \longrightarrow y=(-5) \cdot 0^2 + 500 \cdot 0 = 0
Punto de corte: (0,0)

Si y=0 \longrightarrow 0= -5x^2 + 500x
Resolvemos la ecuación de segundo grado y obtenemos como soluciones x=0 y x=100
Puntos de corte: (0,0) y (100,0)

Podemos calcular otros puntos que nos ayuden a dibujar la grafica:
Si x=20 \longrightarrow y=(-5) \cdot 20^2 + 500 \cdot 20 = 8000
Si x=40 \longrightarrow y=(-5) \cdot 40^2 + 500 \cdot 40 = 12000
Podemos obtener más puntos aprovechando la simetría de la parábola (o calculando como los anteriores):
\begin{array}{c|c} x & y \\ \hline 20 & 8000 \\ 40 & 12000 \\ 60 & 12000 \\ 80 & 8000 \\ \end{array}
Ya podemos dibujarla al completo

Hemos tenido que hacer distintas escalas en cada eje para que el dibujo se aprecie mejor.

- b) El dominio de la función es [0,100]

- c) La altura máxima es 12500 metros y la alcanza a los 50 segundos (observa que corresponde con los datos del vértice)

- d) Veamos cuando está a 4500 metros
-5x^2 + 500x = 4500
-5x^2 + 500x - 4500 = 0
Resolvemos la ecuación de segundo grado y obtenemos como soluciones x=10 y x=90
Alcanza dos veces los 4500 m, una cuando está subiendo y otra cuando está bajando.
Por tanto en el intervalo (en segundos) (10,90) estará a una altura mayor de 4500 metros.

En la siguiente imagen vemos reflejado éste último apartado