Funciones gráfica problemas

Lanzamos verticalmente un cohete. La altura y (en metros) a la que se encuentra en cada instante x (en segundos) viene determinada por la función: y = -5x^2 + 500x. Se pide:

 a) Dibuja la gráfica de la función
 b) Indica cuál es su dominio
 c) ¿Cuánto tiempo pasará para que alcance su altura máxima? ¿Cuál será esa altura máxima?
 d) ¿En qué intervalo de tiempo estará a una altura mayor de 4.500 metros?

SOLUCIÓN

En este problema la "acción" se va a desarrollar en las partes positivas de ambos ejes.
El número de segundos no puede ser negativo.
La altura del cohete tampoco puede ser negativa.
Por tanto, preparamos la siguiente gráfica:

La función y = -5x^2 + 500x es una parábola (polinómica de segundo grado) que debemos dibujar sólo en la parte positiva de los ejes.

Calculamos el vértice (recordemos que la coordenada x del vértice responde a la fórmula x=\frac{-b}{2a}
x=\frac{-500}{2 \cdot (-5)}=50
La coordenada "y" será:
y = -5 \cdot 50^2 + 500 \cdot 50=12500
Por tanto, el vértice es (50,12500)

El coeficiente (-5) negativo de x² nos dice que la parábola está orientada hacia abajo (vértice arriba y ramas hacia abajo).

Calculamos los puntos de corte con los ejes de coordenadas:

Si x=0 \longrightarrow y=(-5) \cdot 0^2 + 500 \cdot 0 = 0
Punto de corte: (0,0)

Si y=0 \longrightarrow 0= -5x^2 + 500x
Resolvemos la ecuación de segundo grado y obtenemos como soluciones x=0 y x=100
Puntos de corte: (0,0) y (100,0)

Podemos calcular otros puntos que nos ayuden a dibujar la grafica:
Si x=20 \longrightarrow y=(-5) \cdot 20^2 + 500 \cdot 20 = 8000
Si x=40 \longrightarrow y=(-5) \cdot 40^2 + 500 \cdot 40 = 12000
Podemos obtener más puntos aprovechando la simetría de la parábola (o calculando como los anteriores):

\begin{array}{c|c}
 x & y  \\
\hline
 20 & 8000 \\
 40 & 12000  \\
 60 & 12000 \\
 80 & 8000  \\
\end{array}
Ya podemos dibujarla al completo

Hemos tenido que hacer distintas escalas en cada eje para que el dibujo se aprecie mejor.

 b) El dominio de la función es [0,100]

 c) La altura máxima es 12500 metros y la alcanza a los 50 segundos (observa que corresponde con los datos del vértice)

 d) Veamos cuando está a 4500 metros
-5x^2 + 500x = 4500
-5x^2 + 500x - 4500 = 0
Resolvemos la ecuación de segundo grado y obtenemos como soluciones x=10 y x=90
Alcanza dos veces los 4500 m, una cuando está subiendo y otra cuando está bajando.
Por tanto en el intervalo (en segundos) (10,90) estará a una altura mayor de 4500 metros.

En la siguiente imagen vemos reflejado éste último apartado