Hallar dominio

|

Halla el dominio de la función
y = \sqrt{x^2-x-6}

SOLUCIÓN

El radicando de una raíz de índice par no puede ser negativo

x^2-x-6 \geq 0

Tenemos que resolver la inecuación de segundo grado.

Primero resolvemos la ecuación x^2-x-6 = 0

\begin{array}{ccc} & & x_1 = \frac{1+5}{2}=3\\ & \nearrow &\\ x=\frac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4 \cdot1\cdot(-6)}}{2 \cdot1}= \frac{1\pm \sqrt{25}}{2}& &\\ & \searrow &\\& &x_2 = \frac{1-5}{2}=-2\end{array}

Las soluciones -2 y 3 nos determinan los intervalos a considerar:

(-\infty, -2) \qquad (-2,3) \qquad (3, +\infty)

Tomamos un punto de cada intervalo y comprobamos si cumple la inecuación

-3 \in (-\infty, -2)
(-3)^2-(-3)-6 \geq 0 SI

0 \in ( -2,3)
0^2-0-6 \geq 0 NO

4 \in (3, +\infty)
4^2-4-6 \geq 0 SI

Ahora comprobamos los puntos -2 y 3

(-2)^2-(-2)-6 \geq 0 SI
3^2-3-6 \geq 0 SI

La solución de la inecuación es (-\infty,-2] \cup [3,+\infty)

Por tanto, el dominio es:
Dom(y)=(-\infty,-2] \cup [3,+\infty)